Số π được tính như thế nào?

Thành tích tính số π rực rỡ hơn là của Tổ Xung Chi thời Nam – Bắc Triều (năm 429- 500). Ông đã tính được số π là số ở giữa hai số 3,1415925 và 3,1415927, không hề có chữ số nào sai. Đây chính là số π với bảy số lẻ đầu tiên trên thế giới. Thành quả này của Tổ Xung Chi được ghi trong sách “Xuyết thuật”. Về sau Tổ Xung Chi còn đưa ra hai giá trị số π khác viết dưới dạng phân số đó là “ước số” π = 22/7 = 3,14 và “mật số” π = 355/113 = 3,1415929. ước số chính bằng số π do Archimède, nhà toán học Hy Lạp đã tính ra trước đó. Thế nhưng mật số thì mãi đến thế kỉ XVI mới được xuất hiện ở Châu Âu do nhà toán học Pháp Otto (1550 – 1605) và nhà toán học Hà Lan Antoniss (1527 – 1607) tính ra. So với Tổ Xung Chi thì muộn hơn đến hơn 1000 năm. Hiện nay có một dãy núi ở phía sau Mặt Trăng được đặt tên là Tổ Xung Chi để tỏ lòng ngưỡng mộ của thế giới đối với ông.

Từ sau thế kỉ XV, khoa học kĩ thuật ở Châu Âu phát triển hết sức mạnh mẽ. Các nhà nghiên cứu về cầu phương (tìm một hình vuông có diện tích tương đương với hình tròn) ngày càng nhiều, nhờ vậy giá trị số π ngày càng được tính chính xác hơn. Người ta cho rằng số π càng tính được với nhiều số lẻ chừng nào thì càng quí. Phát minh này đã được nhà toán học Đức Rudolph (1540 – 1610) tính ra. Qua việc tính chu vi của hình 262 cạnh đều nội tiếp, ông đã tính ra số π với 35 số lẻ, qua kiểm tra của nhà toán học không có chữ số nào bị sai. Ông thấy rất tự hào và để lại di chúc khắc 35 chữ số này lên bia mộ của ông. Vì vậy cho đến nay có người Đức vẫn gọi số π là “số Rudolph”.

Từ sau thế kỉ XVII, với sự phát triển và hoàn thiện của phép tính vi phân, tích phân, cách tính số π có sự thay đổi về bản chất. Từ việc tính số π dựa vào tính độ dài của các hình nhiều cạnh để chuyển sang việc tính tổng các chuỗi số giảm dần. Đây là phương pháp tính toán dựa vào khai triển theo cấp số của các hàm lượng giác ngược.

Ví dụ: Hàm arctan (|x| ≤ 1)

Và chú rằng arctan 1 = π/4 . Trong công thức trên nếu x = 1 ta sẽ thu được công thức Leibnitz

Đây là cách dùng chuỗi số vô hạn để tính số π đơn giản nhất, nhưng rất khó tính toán vì các số hạng giảm dần với tốc độ rất nhỏ, cho dù dùng số các số hạng của chuỗi đến rất lớn. Do vậy người ta đã không ngừng đi sâu tìm các hàm số lượng giác ngược có thể tìm được công thức tính số π hữu hiệu nhất. Ví dụ các công thức.