HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

I – LÝ THUYẾT

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a)Định nghĩa

• Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị
• Điểm gọi là gốc tọa độ.
• Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
• Ta kí hiệu trục đó là

b) Cho là một điểm tùy ý trên trục Khi đó có duy nhất một số sao cho k Ta gọi số đó là tọa độ của điểm đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm và trên trục Khi đó có duy nhất số sao cho a Ta gọi số là độ dài đại số của vectơ đối với trục đã cho và kí hiệu

Nhận xét.

Nếu cùng hướng với thì còn nếu ngược hướng với thì

Nếu hai điểm và trên trục có tọa độ lần lượt là và thì

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ gồm hai trục và vuông góc với nhau. Điểm gốc chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục được gọi là trục hoành và kí hiệu là trục được gọi là trục tung và kí hiệu là Các vectơ và là các vectơ đơn vị trên và và Hệ trục tọa độ còn được kí hiệu là

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ còn được gọi là mặt phẳng tọa độ hay gọi tắt là mặt phẳng

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng cho một vectơ tùy ý. Vẽ và gọi lần lượt là hình chiếu của vuông góc của lên và Ta có và cặp số duy nhất để Như vậy

Cặp số duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ và viết hoặc Số thứ nhất gọi là hoành độ, số thứ hai gọi là tung độ của ve  ctơ

Như vậy

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu và thì

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ cho một điểm tùy ý. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục được gọi là tọa độ của điểm đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số là tọa độ của điểm khi và chỉ khi Khi đó ta viết hoặc Số được gọi là hoành độ, còn số được gọi là tung độ của điểm Hoành độ của điểm còn được kí hiệu là tung độ của điểm còn được kí hiệu là

Chú ý rằng, nếu thì

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm và Ta có

3. Tọa độ của các vectơ

Ta có các công thức sau:

Cho Khi đó: ; ;

Nhận xét. Hai vectơ với cùng phương khi và chỉ khi có một số sao cho và

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng có Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

b) Cho tam giác có Khi đó tọa độ của trọng tâm của tam giác được tính theo công thức

II – DẠNG TOÁN

• 1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục
• Phương pháp giải.

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

• Trên trục , điểm có tọa độ
• Trên trục , vecto có tọa độ
• Vectơ có độ dài đại số là
• Nếu lần lượt là tọa độ của thì
• Tọa độ trung điểm của đoạn là:
• Các tính chất:

+

+

+

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trên trục tọa độ cho 2 điểm có tọa độ lần lượt là Tọa độ của vecto là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ cho 2 điểm có tọa độ lần lượt và . Tọa độ trung điểm của là :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Tọa độ điểm là:

Ví dụ 3: Trên trục cho 3 điểm có tọa độ lần lượt là . Tìm điểm sao cho

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi điểm có tọa độ là .

Ví dụ 4: Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn .

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi điểm có tọa độ là .

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ điểm sao cho .

A. . B. C. D.

1. Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Độ dài đại số của là:

A. . B. C. D.

• 2. DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng .
• Phương pháp giải.
• Để tìm tọa độ của vectơ ta làm như sau

Dựng vectơ . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên . Khi đó với

• Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ
• Nếu biết tọa độ hai điểm suy ra tọa độ được xác định theo công

thức

Chú ý: nếu nằm trên tia (hoặc ) và nếu H nằm trên tia đối tia (hoặc ).

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm . Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với qua trục hoành?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

đối xứng với qua trục hoành suy ra .

Ví dụ 2:Vectơ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

Ví dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ đối nhau.

B. Hai vectơ đối nhau.

C. Hai vectơ đối nhau.

D. Hai vectơ đối nhau.

Lời giải

Chọn C

Ta có: và đối nhau.

Ví dụ 4:Trong hệ trục tọa độ , cho hình vuông tâm I và có . Biết điểm thuộc trục và cùng hướng với . Tìm tọa độ các vectơ ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt

phẳng tọa độ như hình vẽ bên.

Vì điểm suy ra

Do đó

Vậy

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho hình thoi cạnh a và . Biết trùng với gốc tọa độ ; thuộc trục và . Tìm tọa độ các đỉnh và của hình thoi .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ

Gọi I là tâm hình thoi ta có

Suy ra .

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm . Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với qua trục tung?

A. . B. . C. . D. .

1. Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác đều cạnh , biết là trung điểm , cùng hướng với , cùng hướng . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác .
2. Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác đều cạnh , biết là trung điểm , cùng hướng với , cùng hướng . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Lời giải

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm

1. Trong hệ trục tọa độ , cho hình thoi tâm O có . Biết và cùng hướng, và cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác

Lời giải

.

1. Cho hình bình hành có và chiều cao ứng với cạnh , . Chọn hệ trục tọa độ sao cho và cùng hướng, . Tìm tọa độ các vecto và
2. Cho lục giác đều . Chọn hệ trục tọa độ , trong đó là tâm lục giác đều , cùng hướng với , cùng hướng . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là .

Lời giải

ĐS: