Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng

I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.

Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ .

*Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại

Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình IMG_256

Giải.

Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : IMG_257 thay vào (1) ta được

IMG_258

IMG_259 IMG_260

Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2; IMG_261 )

*Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình IMG_262

Giải .

Điều kiện : x≥1 ; y≥0

PT (1) IMG_263 ( từ điều kiện ta có x+y>0)

IMG_264 thay vào PT (2) ta được :

IMG_265

*loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình IMG_266

Giải .

Biến đổi PT (2) về dạng IMG_267

Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có IMG_268 từ đó ta được nghiệm IMG_269

Thay (3) vào (1) ta được : IMG_270

Thay (4) vào (1) ta được : IMG_271

Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , ( IMG_272 ;0)

II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ IMG_273 có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình IMG_274

Giải .

Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT IMG_275

Đặt IMG_276 giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ IMG_277

Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình IMG_278

Giải . Điều kiện : x +y ≠0

HPT IMG_279

Đặt IMG_280 ta được hệ IMG_281

Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ IMG_282

III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu

* Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu

Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình IMG_283

Giải .

Từ PT (2) ta có IMG_284

Xét hàm số IMG_285IMG_286 do đó f(t) nghịch biến trên

khoảng (-1;1) hay PT (1) IMG_287 thay vào PT (2) ta được PT : IMG_288

Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được IMG_289

*loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình IMG_290

Giải .

Đặt IMG_291 ta được hệ IMG_292

Trừ vế với vế 2 PT ta được : IMG_293 (3)

Xét hàm số IMG_294

IMG_295 do đó hàm số f(t) đồng biến trên R

Nên PT (3) IMG_296 thay vào PT (1) ta được IMG_297 (4)

Theo nhận xét trên thì IMG_298 nên PT (4) IMG_299 ( lấy ln hai vế )

Xét hàm số IMG_300

hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0

Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1

IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản

Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình IMG_301

Giải.

Cộng vế với vế hai PT ta được IMG_302 (1)

Ta có : IMG_303

Tương tự IMG_304 mà theo bất đẳng thức Côsi IMG_305 nên VT(1)≤VP(1)

Dấu bằng xảy ra khi IMG_306 thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)

Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình IMG_307

Giải.

HPT IMG_308

Nếu x>2 từ (1) suy ra y-2<0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu

Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí . Vậy nghiệm của hệ là x=y=2

Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ .Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau

IMG_309

IMG_310