ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Vietlearn

7 minutes

Tích vô hướng của hai vectơ một phần nhỏ trong chương trình Hình học 10. Tuy vậy tích vô hướng của hai vec tơ đóng vai trò quan trọng trong Hình học nói riêng và trong toán học nói chung.

Trong các kì thi ta thường thấy xuất hiện một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hay chúng minh một số bất đẳng thức hoăc các bài toán về cực trị. Những bài toán toán đó nếu ta gặp dạng của chúng và biết được các phương pháp giải của từng dạng thì đó là điều khá đơn giản. Tuy vậy có những bài toán có độ khó nhất định đối với học sinh bởi vì sự đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến chúng, trong đó tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng quan trọng trong một số dạng Toán như các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hay chúng minh một số đẳng thức và bất đẳng thức, hoăc các bài toán về cực trị.

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hay chúng minh một số bất đẳng thức hoặc các bài toán về cực trị, giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa qua các bài tập nhỏ, cùng với sự tích lủy kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đưa ra bài viết này. Hy vọng đó là tài liệu tham khảo nhỏ của quý thầy cô và các bạn học sinh.

I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ

GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Định nghĩa:

Cho hai véctơ , tích vô hướng của hai véc tơ được định nghĩa như sau:

(I), với là góc giữa hai véctơ

Suy ra:

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

– Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho

thì

– Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho

thì

2. Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

Từ công thức (I) ta có thể vận dụng để chứng minh hai đường thẳng hoặc là song song hoặc là vuông góc hoặc tính góc tạo bởi hai đường thẳng. Tuy nhiên, nếu dừng ở đó thì chưa thấy hết được ứng dụng của nó. Chỉ cần chú ý rằng thì từ (I) ta có thể suy ra các bất đẳng thức:

(II)

(III)

Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho thì biểu thức giải tích của (II) và (III) là

(II₁)

(III₁)

(II) trở thành đẳng thức khi cùng hướng,còn (III) khi trở thành đẳng thức khi cùng phương,tức là hay

(IV₁)

với k > 0 khi cùng hướng, k < 0 khi cùng phương khác hướng.

Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho thì biểu thức giải tích của (II) và (III) là

(II^’)

(III^’)

(II) trở thành đẳng thức khi cùng hướng,còn (III) khi trở thành đẳng thức khi cùng phương,tức là hay

(IV)

với k > 0 khi cùng hướng, k < 0 khi cùng phương khác hướng.

Các bất đẳng thức (II^’), (III^’) gợi ý cho ta có thể chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hoặc bài toán cực trị.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

1.Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

a. Giải phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình

(1)