GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung có sđ
(còn viết ..)
Tung độ
của điểm
gọi là sin của
và kí hiệu là
Hoành độ
của điểm
gọi là côsin của
và kí hiệu là
Nếu
tỉ số
gọi là tang của
và kí hiệu là
(người ta còn dùng kí hiệu
)
Nếu
tỉ số
gọi là côtang của
và kí hiệu là
(người ta còn dùng kí hiệu
):
Các giá trị được gọi là các giá trị lượng giác của cung
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
2. Hệ quả
1) và
xác định với mọi
Hơn nữa, ta có
2) Vì
nên ta có
3) Với mọi mà
đều tồn tại
và
sao cho
và
4) xác định với mọi
5) xác định với mọi
6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung
trên đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
Giá trị lượng giác |
I | II | III | IV |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Góc ![]() |
0 | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
00 | 300 | 450 | 600 | 900 | 1200 | 1350 | 1800 | 2700 | 3600 | |
![]() |
0 | ![]() |
![]() |
![]() |
1 | ![]() |
![]() |
0 | –1 | 0 |
![]() |
1 | ![]() |
![]() |
![]() |
0 | .. | ![]() |
–1 | 0 | 1 |
![]() |
0 | ![]() |
1 | ![]() |
![]() |
![]() |
–1 | 0 | ![]() |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |
1 | ![]() |
0 | ![]() |
–1 | ![]() |
0 | ![]() |
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
1. Ý nghĩa hình học của
Từ vẽ tiếp tuyến
với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại
.
Gọi là giao điểm của
với trục
được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ
trên trục
Viết:
Trục được gọi là trục tang.
2. Ý nghĩa hình học của
Từ vẽ tiếp tuyến
với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại
.
Gọi là giao điểm của
với trục
được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ
trên trục
. Viết:
Trục được gọi là trục côtang.
Nhận xét:
III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
,
,
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau (![]() ![]() |
Góc bù nhau(![]() ![]() |
Góc phụ nhau(![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Góc hơn kém ![]() ![]() ![]() |
Góc hơn kém ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: ” cos – đối, sin – bù, phụ – chéo, hơn kém tang côtang, hơn kém
chéo sin”. Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
B. CÁC DẠNG TOÁN:
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm ngọn) của cung
trên đường tròn lượng giác. Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Vị trí điểm M thuộc
góc phần tư Giá trị lượng giác |
I | II | III | IV |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
Cho . Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
Và
Vậy .
d) Ta có
suy ra
.
Vậy .