GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN

I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG IMG_256

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung IMG_257 IMG_258 (còn viết ..)

IMG_260 Tung độ IMG_261 IMG_262 IMG_263 của điểm IMG_264 gọi là sin của IMG_265 và kí hiệu là IMG_266

IMG_267

IMG_268 Hoành độ IMG_269 của điểm IMG_270 gọi là côsin của IMG_271 và kí hiệu là IMG_272

IMG_273

IMG_274 Nếu IMG_275 tỉ số IMG_276 gọi là tang của IMG_277 và kí hiệu là IMG_278 (người ta còn dùng kí hiệu IMG_279 )

IMG_280

IMG_281 Nếu IMG_282 tỉ số IMG_283 gọi là côtang của IMG_284 và kí hiệu là IMG_285 (người ta còn dùng kí hiệu IMG_286 ): IMG_287

Các giá trị IMG_288 được gọi là các giá trị lượng giác của cung IMG_289

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

2. Hệ quả

1) IMG_290IMG_291 xác định với mọi IMG_292 Hơn nữa, ta có

IMG_293

2) Vì IMG_294 IMG_295 nên ta có

IMG_296

3) Với mọi IMG_297IMG_298 đều tồn tại IMG_299IMG_300 sao cho IMG_301IMG_302

4) IMG_303 xác định với mọi IMG_304

5) IMG_305 xác định với mọi IMG_306

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc IMG_307 phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung IMG_308 trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV
IMG_309 IMG_310 IMG_311 IMG_312 IMG_313
IMG_314 IMG_315 IMG_316 IMG_317 IMG_318
IMG_319 IMG_320 IMG_321 IMG_322 IMG_323
IMG_324 IMG_325 IMG_326 IMG_327 IMG_328

Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Góc IMG_329 0 IMG_330 IMG_331 IMG_332 IMG_333 IMG_334 IMG_335 IMG_336 IMG_337 IMG_338
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
IMG_339 0 IMG_340 IMG_341 IMG_342 1 IMG_343 IMG_344 0 –1 0
IMG_345 1 IMG_346 IMG_347 IMG_348 0 .. IMG_349 –1 0 1
IMG_350 0 IMG_351 1 IMG_352 IMG_353 IMG_354 –1 0 IMG_355 0
IMG_356 IMG_357 IMG_358 1 IMG_359 0 IMG_360 –1 IMG_361 0 IMG_362

IMG_363

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của IMG_364

Từ IMG_365 vẽ tiếp tuyến IMG_366 với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại IMG_367 .

Gọi IMG_368 là giao điểm của IMG_369 với trục IMG_370

IMG_371 được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ IMG_372 trên trục IMG_373 Viết: IMG_374

Trục IMG_375 được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của IMG_377

Từ IMG_378 vẽ tiếp tuyến IMG_379 với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại IMG_380 .

Gọi IMG_381 là giao điểm của IMG_382 với trục IMG_383

IMG_384 được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ IMG_385 trên trục IMG_386 . Viết: IMG_387

Trục IMG_388 được gọi là trục côtang.

Nhận xét: IMG_390

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

IMG_391

IMG_392 , IMG_393

IMG_394 , IMG_395

IMG_396 IMG_397

IMG_398 IMG_399

IMG_400 IMG_401

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau (IMG_402  và IMG_403 ) Góc bù nhau(IMG_404  và IMG_405 ) Góc phụ nhau(IMG_406  và IMG_407 )
IMG_408 IMG_409 IMG_410
IMG_411 IMG_412 IMG_413
IMG_414 IMG_415 IMG_416
IMG_417 IMG_418 IMG_419
Góc hơn kém IMG_420 (IMG_421  và IMG_422 ) Góc hơn kém IMG_423 (IMG_424  và IMG_425 )
IMG_426 IMG_427
IMG_428 IMG_429
IMG_430 IMG_431
IMG_432 IMG_433

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: ” cos – đối, sin – bù, phụ – chéo, hơn kém IMG_434 tang côtang, hơn kém IMG_435 chéo sin”. Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.

B. CÁC DẠNG TOÁN:

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc IMG_436 phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm ngọn) của cung IMG_437 trên đường tròn lượng giác. Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Vị trí điểm M thuộc

góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV
IMG_438 IMG_439 IMG_440 IMG_441 IMG_442
IMG_443 IMG_444 IMG_445 IMG_446 IMG_447
IMG_448 IMG_449 IMG_450 IMG_451 IMG_452
IMG_453 IMG_454 IMG_455 IMG_456 IMG_457

II. VÍ DỤ MINH HỌA:

Cho IMG_458 . Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) IMG_459 b) IMG_460 IMG_461

c) IMG_462 d) IMG_463

Lời giải

a) Ta có IMG_464 IMG_465 IMG_466 IMG_467 IMG_468

b) Ta có IMG_469 IMG_470 IMG_471 IMG_472 IMG_473

c) Ta có IMG_474 IMG_475 IMG_476 IMG_477 IMG_478

IMG_479 IMG_480 IMG_481

Vậy IMG_482 .

d) Ta có IMG_483 IMG_484 IMG_485

IMG_486 IMG_487 IMG_488 suy ra IMG_489 .

Vậy IMG_490 .