Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN

I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG IMG_256

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung IMG_257 IMG_258 (còn viết ..)

IMG_260 Tung độ IMG_261 IMG_262 IMG_263 của điểm IMG_264 gọi là sin của IMG_265 và kí hiệu là IMG_266

IMG_267

IMG_268 Hoành độ IMG_269 của điểm IMG_270 gọi là côsin của IMG_271 và kí hiệu là IMG_272

IMG_273

IMG_274 Nếu IMG_275 tỉ số IMG_276 gọi là tang của IMG_277 và kí hiệu là IMG_278 (người ta còn dùng kí hiệu IMG_279 )

IMG_280

IMG_281 Nếu IMG_282 tỉ số IMG_283 gọi là côtang của IMG_284 và kí hiệu là IMG_285 (người ta còn dùng kí hiệu IMG_286 ): IMG_287

Các giá trị IMG_288 được gọi là các giá trị lượng giác của cung IMG_289

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

2. Hệ quả

1) IMG_290IMG_291 xác định với mọi IMG_292 Hơn nữa, ta có

IMG_293

2) Vì IMG_294 IMG_295 nên ta có

IMG_296

3) Với mọi IMG_297IMG_298 đều tồn tại IMG_299IMG_300 sao cho IMG_301IMG_302

4) IMG_303 xác định với mọi IMG_304

5) IMG_305 xác định với mọi IMG_306

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc IMG_307 phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung IMG_308 trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV
IMG_309 IMG_310 IMG_311 IMG_312 IMG_313
IMG_314 IMG_315 IMG_316 IMG_317 IMG_318
IMG_319 IMG_320 IMG_321 IMG_322 IMG_323
IMG_324 IMG_325 IMG_326 IMG_327 IMG_328

Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Góc IMG_329 0 IMG_330 IMG_331 IMG_332 IMG_333 IMG_334 IMG_335 IMG_336 IMG_337 IMG_338
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
IMG_339 0 IMG_340 IMG_341 IMG_342 1 IMG_343 IMG_344 0 –1 0
IMG_345 1 IMG_346 IMG_347 IMG_348 0 .. IMG_349 –1 0 1
IMG_350 0 IMG_351 1 IMG_352 IMG_353 IMG_354 –1 0 IMG_355 0
IMG_356 IMG_357 IMG_358 1 IMG_359 0 IMG_360 –1 IMG_361 0 IMG_362

IMG_363

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của IMG_364

Từ IMG_365 vẽ tiếp tuyến IMG_366 với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại IMG_367 .

Gọi IMG_368 là giao điểm của IMG_369 với trục IMG_370

IMG_371 được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ IMG_372 trên trục IMG_373 Viết: IMG_374

Trục IMG_375 được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của IMG_377

Từ IMG_378 vẽ tiếp tuyến IMG_379 với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại IMG_380 .

Gọi IMG_381 là giao điểm của IMG_382 với trục IMG_383

IMG_384 được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ IMG_385 trên trục IMG_386 . Viết: IMG_387

Trục IMG_388 được gọi là trục côtang.

Nhận xét: IMG_390

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

IMG_391

IMG_392 , IMG_393

IMG_394 , IMG_395

IMG_396 IMG_397

IMG_398 IMG_399

IMG_400 IMG_401

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau (IMG_402  và IMG_403 ) Góc bù nhau(IMG_404  và IMG_405 ) Góc phụ nhau(IMG_406  và IMG_407 )
IMG_408 IMG_409 IMG_410
IMG_411 IMG_412 IMG_413
IMG_414 IMG_415 IMG_416
IMG_417 IMG_418 IMG_419
Góc hơn kém IMG_420 (IMG_421  và IMG_422 ) Góc hơn kém IMG_423 (IMG_424  và IMG_425 )
IMG_426 IMG_427
IMG_428 IMG_429
IMG_430 IMG_431
IMG_432 IMG_433

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: ” cos – đối, sin – bù, phụ – chéo, hơn kém IMG_434 tang côtang, hơn kém IMG_435 chéo sin”. Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.

B. CÁC DẠNG TOÁN:

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc IMG_436 phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm ngọn) của cung IMG_437 trên đường tròn lượng giác. Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Vị trí điểm M thuộc

góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV
IMG_438 IMG_439 IMG_440 IMG_441 IMG_442
IMG_443 IMG_444 IMG_445 IMG_446 IMG_447
IMG_448 IMG_449 IMG_450 IMG_451 IMG_452
IMG_453 IMG_454 IMG_455 IMG_456 IMG_457

II. VÍ DỤ MINH HỌA:

Cho IMG_458 . Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) IMG_459 b) IMG_460 IMG_461

c) IMG_462 d) IMG_463

Lời giải

a) Ta có IMG_464 IMG_465 IMG_466 IMG_467 IMG_468

b) Ta có IMG_469 IMG_470 IMG_471 IMG_472 IMG_473

c) Ta có IMG_474 IMG_475 IMG_476 IMG_477 IMG_478

IMG_479 IMG_480 IMG_481

Vậy IMG_482 .

d) Ta có IMG_483 IMG_484 IMG_485

IMG_486 IMG_487 IMG_488 suy ra IMG_489 .

Vậy IMG_490 .