Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

I – LÝ THUYẾT

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ IMG_256IMG_257 là vectơ IMG_258 , được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp.

IMG_259  nối đuôi IMG_260  cùng điểm gốc IMG_261  là hai vectơ bất kỳ
IMG_262

IMG_263  cộng theo

Quy tắc 3 điểm

IMG_264

IMG_265  cộng theo

Quy tắc hình bình hành

IMG_266

IMG_267  được cộng theo

2 trường hợp trên

– Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ IMG_268 ta có IMG_269

– Quy tắc hình bình hành: Cho IMG_270 là hình bình hành khi đó ta có IMG_271IMG_272
Tính chất:

– Giao hoán: IMG_273 – Kết hợp: IMG_274
– Cộng với vectơ đối: IMG_275 – Cộng với vectơ không: IMG_276

2. Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối của vectơ IMG_277 kí hiệu là – IMG_278 . Đặc biệt IMG_279

Định nghĩa: Hiệu hai vectơ IMG_280IMG_281 là vectơ IMG_282

Tính chất: + IMG_283 + IMG_284 + IMG_285

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ
Với ba điểm bất kì IMG_286 ta có IMG_287

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

  • Điểm I là trung điểm của đoạn IMG_288
  • Điểm G là trọng tâm IMG_289

2. Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ

Phương pháp giải:

Áp dùng định nghĩa: Tìm vectơ đối, tính tổng

– Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất

Ví dụ 1: Cho IMG_290IMG_291 là các vectơ khác IMG_292 với IMG_293 là vectơ đối của IMG_294 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai vectơ IMG_295 cùng phương. B. Hai vectơ IMG_296 ngược hướng.

C. Hai vectơ IMG_297 cùng độ dài. D. Hai vectơ IMG_298 chung điểm đầu.

Lời giải.

Chọn D.

Ta có IMG_299 . Do đó, IMG_300IMG_301 cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Ví dụ 2. Gọi IMG_302 là tâm hình bình hành IMG_303 . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. IMG_304 B. IMG_305

C. IMG_306 D. IMG_307

Lời giải.

Chọn B. Xét các đáp án:

Ÿ Đáp án A. Ta có IMG_308 . Vậy A đúng.

Ÿ Đáp án B. Ta có IMG_309 . Vậy B sai.

Ÿ Đáp án C. Ta có IMG_310  Vậy C đúng.

Ÿ Đáp án D. Ta có IMG_311 . Vậy D đúng.

IMG_312

Ví dụ 3. Gọi IMG_313 là tâm hình vuông IMG_314 . Tính IMG_315 .

A. IMG_316 B. IMG_317 C. IMG_318 D. IMG_319

Lời giải.

Chọn B. Ta có IMG_320 .

Ví dụ 4. Cho IMG_321 là tâm hình bình hành IMG_322 . Hỏi vectơ IMG_323 bằng vectơ nào?

IMG_324 A. IMG_325 B. IMG_326 C. IMG_327 D. IMG_328

Lời giải.

Chọn B. Ta có IMG_329 .

3. Dạng 3: Tính độ dài của vectơ

Phương pháp giải:

Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất.

– Tính độ dài của vectơ đó.

– Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho tam giác IMG_330 đều cạnh IMG_331 . Khi đó IMG_332 bằng:

A. IMG_333 B. IMG_334

C. IMG_335 D. Một đáp án khác.

Lời giải.

Chọn A

Gọi IMG_336   là trung điểm của IMG_337

Suy ra IMG_338

Ta lại có IMG_339 .

IMG_340

Ví dụ 2. Cho tam giác vuông cân IMG_341 tại IMG_342IMG_343 . Tính IMG_344

A. IMG_345 B. IMG_346

C. IMG_347 D. IMG_348

Lời giải.

Chọn A. Gọi IMG_349  là điểm thỏa mãn tứ giác IMG_350  là hình vuông.

IMG_351

IMG_352

Ví dụ 3. Cho tam giác IMG_353 vuông cân đỉnh IMG_354 , IMG_355 . Tính độ dài của IMG_356

A. IMG_357 B. IMG_358

IMG_359 C. IMG_360 D. IMG_361

Lời giải.

Chọn A.

Ta có IMG_362

Gọi IMG_363 là trung điểm IMG_364

Khi đó IMG_365

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

NHẬN BIẾT

  1. Cho 4 điểm bất kì IMG_366 . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. IMG_367 . B. IMG_368 .

C. IMG_369 . D. IMG_370 .

  1. Cho hai điểm phân biệt IMG_371 . Điều kiện để điểm IMG_372 là trung điểm của đoạn thẳng IMG_373 là:

A. IMG_374 . B. IMG_375 .

C. IMG_376 . D. IMG_377 .

  1. Cho ba điểm phân biệt IMG_378 . Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. IMG_379. B. IMG_380.

C. IMG_381. D. IMG_382.

  1. Chọn khẳng định sai:

A. Nếu IMG_383 là trung điểm đoạn IMG_384 thì IMG_385 .

B. Nếu IMG_386 là trung điểm đoạn IMG_387 thì IMG_388 .

C. Nếu IMG_389 là trung điểm đoạn IMG_390 thì IMG_391 .

D. Nếu IMG_392 là trung điểm đoạn IMG_393 thì IMG_394 .

  1. Cho hình bình hành IMG_395 . Đẳng thức nào sau đây sai ?

A. IMG_396 . B. IMG_397 .

C. IMG_398 . D. IMG_399 .

  1. Cho 4 điểm bất kỳ IMG_400 . Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A. IMG_401. B. IMG_402.

C. IMG_403. D. IMG_404.

  1. Cho tam giác IMG_405 , khẳng định nào sau là đúng?

A. IMG_406 . B. IMG_407 .

C. IMG_408 . D. IMG_409 .

  1. Cho ba vectơ IMG_410 đều khác vectơ – không. Trong đó hai vectơ IMG_411 cùng hướng, hai vectơ IMG_412 đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hai vectơ IMG_413 cùng hướng.

B. Hai vectơ IMG_414 ngược hướng.

C. Hai vectơ IMG_415 đối nhau.

D. Hai vectơ IMG_416 bằng nhau.

  1. Cho các điểm phân biệt IMG_417 . Đẳng thức nào sau đây sai

A. IMG_418 .

B. IMG_419 .

C. IMG_420 .

D. IMG_421 .

  1. Gọi IMG_422 là trọng tâm tam giác vuông IMG_423 với cạnh huyền IMG_424 . Vectơ IMG_425 có độ dài bằng bao nhiêu?

A. IMG_426 . B. IMG_427 . C. IMG_428 . D. IMG_429 .