Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

I – LÝ THUYẾT

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a)Định nghĩa

  • Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm IMG_256 gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị IMG_257
  • Điểm IMG_258 gọi là gốc tọa độ.
  • Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
  • Ta kí hiệu trục đó là IMG_259

IMG_260 IMG_261

b) Cho IMG_262 là một điểm tùy ý trên trục IMG_263 Khi đó có duy nhất một số IMG_264 sao cho k IMG_265 Ta gọi số IMG_266 đó là tọa độ của điểm IMG_267 đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm IMG_268IMG_269 trên trục IMG_270 Khi đó có duy nhất số IMG_271 sao cho a IMG_272 Ta gọi số IMG_273 là độ dài đại số của vectơ IMG_274 đối với trục đã cho và kí hiệu IMG_275

Nhận xét.

IMG_276 Nếu IMG_277 cùng hướng với IMG_278 thì IMG_279 còn nếu IMG_280 ngược hướng với IMG_281 thì IMG_282

IMG_283 Nếu hai điểm IMG_284IMG_285 trên trục IMG_286 có tọa độ lần lượt là IMG_287IMG_288 thì IMG_289

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ IMG_290 gồm hai trục IMG_291IMG_292 vuông góc với nhau. Điểm gốc IMG_293 chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục IMG_294 được gọi là trục hoành và kí hiệu là IMG_295 trục IMG_296 được gọi là trục tung và kí hiệu là IMG_297 Các vectơ IMG_298IMG_299 là các vectơ đơn vị trên IMG_300IMG_301IMG_302 Hệ trục tọa độ IMG_303 còn được kí hiệu là IMG_305

IMG_304

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ IMG_306 còn được gọi là mặt phẳng tọa độ IMG_307 hay gọi tắt là mặt phẳng IMG_308

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng IMG_309 cho một vectơ IMG_310 tùy ý. Vẽ IMG_311 và gọi IMG_312 lần lượt là hình chiếu của vuông góc của IMG_313 lên IMG_314IMG_315 Ta có IMG_316 và cặp số duy nhất IMG_317 để IMG_318 Như vậy IMG_319

Cặp số IMG_320 duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ IMG_321 đối với hệ tọa độ IMG_322 và viết IMG_323 hoặc IMG_324 Số thứ nhất IMG_325 gọi là hoành độ, số thứ hai IMG_326 gọi là tung độ của ve  ctơ IMG_328

IMG_327

Như vậy

IMG_329

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu IMG_330IMG_331 thì IMG_332

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ IMG_333 cho một điểm IMG_334 tùy ý. Tọa độ của vectơ IMG_335 đối với hệ trục IMG_336 được gọi là tọa độ của điểm IMG_337 đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số IMG_338 là tọa độ của điểm IMG_339 khi và chỉ khi IMG_340 Khi đó ta viết IMG_341 hoặc IMG_342 Số IMG_343 được gọi là hoành độ, còn số IMG_344 được gọi là tung độ của điểm IMG_345 Hoành độ của điểm IMG_346 còn được kí hiệu là IMG_347 tung độ của điểm IMG_348 còn được kí hiệu là IMG_349

IMG_350

IMG_351 IMG_352

Chú ý rằng, nếu IMG_353 thì IMG_354

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm IMG_355IMG_356 Ta có

IMG_357

3. Tọa độ của các vectơ IMG_358

Ta có các công thức sau:

Cho IMG_359

Khi đó:

  • IMG_360 ;
  • IMG_361 ;
  • IMG_362

Nhận xét. Hai vectơ IMG_363 với IMG_364 cùng phương khi và chỉ khi có một số IMG_365 sao cho IMG_366IMG_367

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng IMG_368IMG_369 Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm IMG_370 của đoạn thẳng IMG_371

IMG_372

b) Cho tam giác IMG_373IMG_374 Khi đó tọa độ của trọng tâm IMG_375 của tam giác IMG_376 được tính theo công thức

IMG_377

II – DẠNG TOÁN

  • 1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục IMG_378
  • Phương pháp giải.

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

  • Trên trục IMG_379 , điểm IMG_380 có tọa độ IMG_381
  • Trên trục IMG_382 , vecto IMG_383 có tọa độ IMG_384
  • Vectơ IMG_385 có độ dài đại số là IMG_386
  • Nếu IMG_387 lần lượt là tọa độ của IMG_388 thì IMG_389
  • Tọa độ trung điểm IMG_390 của đoạn IMG_391 là: IMG_392
  • Các tính chất:

+ IMG_393

+ IMG_394

+ IMG_395

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trên trục tọa độ IMG_396 cho 2 điểm IMG_397 có tọa độ lần lượt là IMG_398 Tọa độ của vecto IMG_399 là:

A. IMG_400 . B. IMG_401. C. IMG_402. D. IMG_403.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: IMG_404

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ IMG_405 cho 2 điểm IMG_406 có tọa độ lần lượt IMG_407IMG_408 . Tọa độ trung điểm IMG_409 của IMG_410 là :

A. IMG_411 . B. IMG_412. C. IMG_413. D. IMG_414.

Lời giải

Chọn D.

Tọa độ điểm IMG_415 là: IMG_416

Ví dụ 3: Trên trục IMG_417 cho 3 điểm IMG_418 có tọa độ lần lượt là IMG_419 . Tìm điểm IMG_420 sao cho IMG_421

A. IMG_422 B. IMG_423 C. IMG_424 D. IMG_425

Lời giải

Chọn D.

Gọi điểm IMG_426 có tọa độ là IMG_427 .

IMG_428

IMG_429

Ví dụ 4: Trên trục IMG_430 , cho ba điểm IMG_431 lần lượt có tọa độ là IMG_432 . Tìm tọa độ điểm IMG_433 thỏa mãn IMG_434 .

A. IMG_435. B. IMG_436. C. IMG_437 D. IMG_438.

Lời giải

Chọn C.

Gọi điểm IMG_439 có tọa độ là IMG_440 .

IMG_441

IMG_442

IMG_443

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

  1. Trên trục IMG_444 , cho ba điểm IMG_445 lần lượt có tọa độ là IMG_446. Tìm tọa độ điểm IMG_447 sao cho IMG_448 .

A. IMG_449. B. IMG_450 C. IMG_451 D. IMG_452

  1. Trên trục IMG_453 , cho ba điểm IMG_454 lần lượt có tọa độ là IMG_455. Độ dài đại số của IMG_456 là:

A. IMG_457. B. IMG_458 C. IMG_459 D. IMG_460

  • 2. DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng IMG_461.
  • Phương pháp giải.
  • Để tìm tọa độ của vectơ IMG_462 ta làm như sau

Dựng vectơ IMG_463 . Gọi IMG_464 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên IMG_465 . Khi đó IMG_466 với IMG_467

  • Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ IMG_468
  • Nếu biết tọa độ hai điểm IMG_469 suy ra tọa độ IMG_470 được xác định theo công

thức IMG_471

Chú ý: IMG_472 nếu IMG_473 nằm trên tia IMG_474 (hoặc IMG_475 ) và IMG_476 nếu H nằm trên tia đối tia IMG_477 (hoặc IMG_478 ).

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ IMG_479 . Cho điểm IMG_480 . Tìm tọa độ của các điểm IMG_481 đối xứng với IMG_482 qua trục hoành?

A. IMG_483 . B. IMG_484 . C. IMG_485 . D. IMG_486 .

Lời giải

Chọn A.

IMG_487 đối xứng với IMG_488 qua trục hoành suy ra IMG_489 .

Ví dụ 2:Vectơ IMG_490 được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. IMG_491 . B. IMG_492 . C. IMG_493 . D. IMG_494 .

Lời giải

Chọn D

Ta có: IMG_495 .

Ví dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ IMG_496 đối nhau.

B. Hai vectơ IMG_497 đối nhau.

C. Hai vectơ IMG_498 đối nhau.

D. Hai vectơ IMG_499 đối nhau.

Lời giải

Chọn C

Ta có: IMG_500IMG_501 đối nhau.

Ví dụ 4:Trong hệ trục tọa độ IMG_502 , cho hình vuông IMG_503 tâm I và có IMG_504 . Biết điểm IMG_505 thuộc trục IMG_506IMG_507 cùng hướng với IMG_508 . Tìm tọa độ các vectơ IMG_509 ?

A. IMG_510 . B. IMG_511 . C. IMG_512 . D. IMG_513 .

IMG_514

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt

phẳng tọa độ IMG_515 như hình vẽ bên.

Vì điểm IMG_516 suy ra IMG_517

Do đó IMG_518

Vậy IMG_519

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ IMG_520 . Cho hình thoi IMG_521 cạnh a và IMG_522 . Biết IMG_523 trùng với gốc tọa độ IMG_524 ; IMG_525 thuộc trục IMG_526IMG_527 . Tìm tọa độ các đỉnh IMG_528IMG_529 của hình thoi IMG_530 .

A. IMG_531 . B. IMG_532 .

C. IMG_533 . D. IMG_534 .

IMG_535

Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ

IMG_536

Gọi I là tâm hình thoi ta có IMG_537

IMG_538

Suy ra IMG_539 .

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

  1. Trong mặt phẳng tọa độ IMG_540 . Cho điểm IMG_541 . Tìm tọa độ của các điểm IMG_542 đối xứng với IMG_543 qua trục tung?

A. IMG_544 . B. IMG_545 . C. IMG_546 . D. IMG_547 .

  1. Trong hệ trục tọa độ IMG_548 , cho tam giác đều IMG_549 cạnh IMG_550 , biết IMG_551 là trung điểm IMG_552 , IMG_553 cùng hướng với IMG_554 , IMG_555 cùng hướng IMG_556 . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác IMG_557 . IMG_558
  2. Trong hệ trục tọa độ IMG_559 , cho tam giác đều IMG_560 cạnh IMG_561 , biết IMG_562 là trung điểm IMG_563 , IMG_564 cùng hướng với IMG_565 , IMG_566 cùng hướng IMG_567 . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMG_568 .

Lời giải

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm IMG_569

  1. Trong hệ trục tọa độ IMG_570 , cho hình thoi IMG_571 tâm O có IMG_572 . Biết IMG_573IMG_574 cùng hướng, IMG_575IMG_576 cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác IMG_577

Lời giải

IMG_578 .

  1. Cho hình bình hành IMG_579IMG_580 và chiều cao ứng với cạnh IMG_581 , IMG_582 . Chọn hệ trục tọa độ IMG_583 sao cho IMG_584IMG_585 cùng hướng, IMG_586 . Tìm tọa độ các vecto IMG_587IMG_588
  2. Cho lục giác đều IMG_589 . Chọn hệ trục tọa độ IMG_590 , trong đó IMG_591 là tâm lục giác đều , IMG_592 cùng hướng với IMG_593 , IMG_594 cùng hướng IMG_595 . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là IMG_596 .

Lời giải

ĐS: IMG_597

IMG_598