TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

I – LÝ THUYẾT

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ và là vectơ , được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp.

nối đuôi	cùng điểm gốc	là hai vectơ bất kỳ
cộng theo Quy tắc 3 điểm	cộng theo Quy tắc hình bình hành	được cộng theo 2 trường hợp trên

– Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ ta có

– Quy tắc hình bình hành: Cho là hình bình hành khi đó ta có và
Tính chất:

– Giao hoán:	– Kết hợp:
– Cộng với vectơ đối:	– Cộng với vectơ không:

2. Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối của vectơ kí hiệu là – . Đặc biệt

Định nghĩa: Hiệu hai vectơ và là vectơ

Tính chất: + + +

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ
Với ba điểm bất kì ta có

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

• Điểm I là trung điểm của đoạn
• Điểm G là trọng tâm

2. Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ

Phương pháp giải:

– Áp dùng định nghĩa: Tìm vectơ đối, tính tổng

– Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất

Ví dụ 1: Cho và là các vectơ khác với là vectơ đối của . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai vectơ cùng phương. B. Hai vectơ ngược hướng.

C. Hai vectơ cùng độ dài. D. Hai vectơ chung điểm đầu.

Lời giải.

Chọn D.

Ta có . Do đó, và cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Ví dụ 2. Gọi là tâm hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Lời giải.

Chọn B. Xét các đáp án:

Ÿ Đáp án A. Ta có . Vậy A đúng. Ÿ Đáp án B. Ta có . Vậy B sai. Ÿ Đáp án C. Ta có  Vậy C đúng. Ÿ Đáp án D. Ta có . Vậy D đúng.

Ví dụ 3. Gọi là tâm hình vuông . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B. Ta có .

Ví dụ 4. Cho là tâm hình bình hành . Hỏi vectơ bằng vectơ nào?

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B. Ta có .

3. Dạng 3: Tính độ dài của vectơ

Phương pháp giải:

– Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất.

– Tính độ dài của vectơ đó.

– Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho tam giác đều cạnh . Khi đó bằng:

A. B.

C. D. Một đáp án khác.

Lời giải.

Chọn A

Gọi   là trung điểm của Suy ra Ta lại có .

Ví dụ 2. Cho tam giác vuông cân tại có . Tính

A. B.

C. D.

Lời giải.

Chọn A. Gọi  là điểm thỏa mãn tứ giác  là hình vuông.

Ví dụ 3. Cho tam giác vuông cân đỉnh , . Tính độ dài của

A. B.

C. D.

Lời giải.

Chọn A.

Ta có

Gọi là trung điểm

Khi đó

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

NHẬN BIẾT

1. Cho 4 điểm bất kì . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho hai điểm phân biệt . Điều kiện để điểm là trung điểm của đoạn thẳng là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho ba điểm phân biệt . Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

1. Chọn khẳng định sai:

A. Nếu là trung điểm đoạn thì .

B. Nếu là trung điểm đoạn thì .

C. Nếu là trung điểm đoạn thì .

D. Nếu là trung điểm đoạn thì .

1. Cho hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho 4 điểm bất kỳ . Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho tam giác , khẳng định nào sau là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho ba vectơ đều khác vectơ – không. Trong đó hai vectơ cùng hướng, hai vectơ đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hai vectơ cùng hướng.

B. Hai vectơ ngược hướng.

C. Hai vectơ đối nhau.

D. Hai vectơ bằng nhau.

1. Cho các điểm phân biệt . Đẳng thức nào sau đây sai

A. .

B. .

C. .

D. .

1. Gọi là trọng tâm tam giác vuông với cạnh huyền . Vectơ có độ dài bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .