CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. CHUẨN KIẾN THỨC

1. Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số xác định trên tập hợp và

được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho: .

Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số .

được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho: .

Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì ngư=ời ta nói rằng hàm số đạt cực trị tại điểm .

Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x₀ ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số.

Chú ý.

a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x₀) của hàm số f chưa hẳn đã là GTLN (GTNN) của hàm số f trên tập xác định D mà f(x₀) chỉ là GTLN (GTNN) của hàm số f trên khoảng (a,b) D và (a;b) chứa x₀ .

b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D của hàm số f thì hàm số f không có cực trị .

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó , nếu có đạo hàm tại điểm thì .

Chú ý :

Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm .

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó :

Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .

Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm , và có đạo hàm cấp hai khác tại điểm .

Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .

Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

Chú ý :

1. Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .

2. Trong trường hợp không tồn tại hoặc thì định lý 3 không dùng được.

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.

Phương pháp giải

Tìm tập xác định D của hàm số f.

Tính f’(x).

Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x₀ D mà tại đó hàm f liên tục nhưng f’(x₀) không tồn tại.

Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý 3 (tính f’’(x)) để xác định điểm cực trị của hàm số.

Chú ý: Cho hàm số xác định trên D.

Điểm là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:

Tại đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

Đạo hàm đổi dấu khi đi qua .

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. 2.

Lời giải.

1. Tập xác định :

Ta có: , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị.

Giới hạn :

Bảng biến thiên

2. Tập xác định :

Ta có: ,

Giới hạn :

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại ,hàm số đạt cực tiểu tại .

Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. 2.

Lời giải.

1. Tập xác định :

Ta có: , .

Giới hạn : ;

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại và ,hàm số đạt cực đại tại và .

2. Tập xác định :

Ta có: ,

Giới hạn :

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại và ,hàm số đạt cực đại tại và