Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A. CHUẨN KIẾN THỨC

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên

* Xét chiều biến thiên của hàm số :

+ Tính đạo hàm y’;

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định ;

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

* Tìm cực trị

* Tìm các giới hạn tại vô cực ,các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có )

* Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên )

3. Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm (bước này chỉ thực hiện với hàm bậc ba )

+ Tính y’’

+ Giải phương trình y’’=0

+ Lập bảng xét dấu y’’

4. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ

CHÚ Ý.

    1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì ,sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
    2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm ,đặc biệt là giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
    3. Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

HÀM SỐ BẬC BA : IMG_256

1. Tập xác định: IMG_257

2. Đạo hàm: IMG_258 , IMG_259

IMG_260 : Hàm số có 2 cực trị.

IMG_261 : Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên IMG_262 .

3. Đạo hàm cấp 2: IMG_263 , IMG_264

IMG_265 là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

4. Giới hạn: Nếu IMG_266 thì: IMG_267

Nếu IMG_268 thì: IMG_269

5. Bảng biến thiên và đồ thị:

Trường hợp IMG_270 :

* IMG_271 : Hàm số có 2 cực trị

* IMG_272 : Hàm số luôn tăng trên IMG_273 .

Trường hợp IMG_274 :

IMG_275 * IMG_276 : Hàm số có 2 cực trị.

IMG_277 * IMG_278 : Hàm số luôn giảm trên IMG_279 .

Một số tính chất của hàm số bậc ba

1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: IMG_280 .

2. Hàm số luôn đồng biến trên IMG_281

3. Hàm số luôn nghịch biến trên IMG_282

4. Để tìm giá cực trị ta lấy IMG_283 chia cho IMG_284 : IMG_285

Nếu IMG_286 là hai nghiệm của IMG_287 thì: IMG_288

Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị là IMG_289 .

5. Đồ thị luôn có điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị.

6. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt IMG_290 hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.

7. Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt IMG_291 đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox.

8. Đồ thị cắt Ox tại một điểm IMG_292 hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu.

9. Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn. Cho IMG_293

* Nếu IMG_294 thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua IMG_295 và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( nếu IMG_296 ), lớn nhất (nếu IMG_297 ).

* Nếu IMG_298 khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua IMG_299 .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số:

1. IMG_300 2. IMG_301 3. IMG_302

Lời giải.

1. Tập xác định : IMG_303

  • Chiều biến thiên :
    • IMG_304 IMG_305 hoặc IMG_306

Hàm số nghịch biến trên các khoảng IMG_307IMG_308 , đồng biến trên khoảng IMG_309 .

Hàm số đạt cực đại tại điểm IMG_310 ; giá trị cực đại của hàm số là IMG_311 .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm IMG_312 ; giá trị cực tiểu của hàm số là IMG_313

    • IMG_314 Giới hạn của hàm số tại vô cực : IMG_315
      • Bảng biến thiên :

x

-¥ 0 2 +¥

y’

– 0 + 0 –

y

IMG_316+¥ 0

-4 -¥

  • Đồ thị :

 

    • Cho IMG_317

 

2. Tập xác định : IMG_318

  • Chiều biến thiên:
    • IMG_319 ; IMG_320 hoặc IMG_321

Hàm số nghịch biến trên các khoảng IMG_322IMG_323 , đồng biến trên khoảng IMG_324 .

Hàm số đạt cực đại tại điểm IMG_325 ; giá trị cực đại của hàm số là IMG_326

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm IMG_327 ; giá trị cực tiểu của hàm số là IMG_328 .

    • IMG_329 Giới hạn của hàm số tại vô cực: IMG_330

Bảng biến thiên:

IMG_331

  • Đồ thị :

Cho IMG_332

3. Tập xác định: IMG_333

  • IMG_334 Chiều biến thiên:
    • Giới hạn của hàm số tại vô cực: IMG_335
    • Ta có: IMG_336

Hàm số đồng biến trên khoảng IMG_337 ,

hàm số không có cực trị .

    • Bảng biến thiên:

IMG_338

  • Đồ thị : Cho IMG_339

Ví dụ 2. Cho hàm số IMG_340 có đồ thị ( C )

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số;

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại IMG_341

Lời giải.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

  • Tập xác định: IMG_342
  • Chiều biến thiên :

Ta có : IMG_343

IMG_344 hoặc IMG_345

IMG_346

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng IMG_347IMG_348 , đồng biến trên khoảng IMG_349 .

Hàm số đạt cực đại tại điểm IMG_350 ; giá trị cực đại của hàm số là IMG_351 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm IMG_352 ; giá trị cực tiểu của hàm số là IMG_353

    • IMG_354 Giới hạn của hàm số tại vô cực : IMG_355
    • Bảng biến thiên:
  • Đồ thị :

Cho x = -1 Þ y = 5;

x = 3 Þ y = 1.

2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm IMG_357 có dạng :

IMG_358