Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Ở chương này những bài toán vận dụng cao sẽ rơi vào các dạng bài Lãi suất, dạng bài tính số chữ số của một số …

CHỦ ĐỀ 1.

TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu một ứng dụng của Logarit tron việc tính số các chữ số của một số tự nhiên.

Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm thế nào là phần nguyên của một số.

1. Phần nguyên của một số:

Xét số thức A, số nguyên lớn nhất mà không vượt quá A người ta gọi là phần nguyên của A và kí hiệu là [A].

Như vậy dễ thấy IMG_256 .

2. Công thức tính số các chữ số của một số tự nhiên:

Xét số tự nhiên A hiện thời đang biểu diễn dưới dạng mũ hay một dạng nào đó mà ta không đếm được các chữ số của nó. Gỉ sử A có n chữ số thì ta có công thức sau đây: IMG_257 .

Trước khi đi vào chứng minh, tôi muốn nhắc lại cho các bạn cách phân tích một số tự nhiên ra dạng tổng lũy thừa của cơ số 10, ví dụ IMG_258 .

Chứng minh:

Giả sử số tự nhiên A có n chữ số:

IMG_259

Suy ra IMG_260

IMG_261 .

Từ hai điều này ta có: IMG_262

Giữa IMG_263 chỉ có duy nhất một số tự nhiên lớn hơn IMG_264 đó là IMG_265

Vậy IMG_266

Sau đây ta cùng sử dụng công thức trên để giải một số bài toán sau:

 

BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 1: Số nguyên tố dạng IMG_267 , trong đó p là một số nguyên tố, được gọi là số nguyên tố Mec-xen. Số IMG_268 được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

Trích đề thi thử Chuyên Hưng Yên lần 2.

A. IMG_269 chữ số. B. 2098961 chữ số.

C. 6972593 chữ số. D. 6972592 chữ số.

Giải:

Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số thì IMG_270

Ta cần tính IMG_271 có bao nhiêu chữ số, ta thấy rằng IMG_272IMG_273 chắc chắn có cùng số chữ số, nó giống như là 213 và 213−1 có cùng 3 chữ số vậy.

Từ lập luậ trên ta đi tính số chữ số của IMG_274 bằng công thức: IMG_275 . Áp dụng công thức ta được:

IMG_276 .

Chọn B.

Bài 2: Người ta qui ước IMG_277IMG_278 là giá trị của IMG_279 . Trong các lĩnh vực kỹ thuật, IMG_280 được sử dụng khá nhiều, kể cả máy tính cầm tay hay quang phổ. Hơn nữa, trong toán học người ta sử dụng IMG_281 để tìm số chữ số của một số nguyên dương nào đó. Ví dụ số A có n chữ số thì khi đó IMG_282 với IMG_283 là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng A. Hỏi số IMG_284 có bao nhiêu chữ số?

A. 9999 chữ số. B. 6666 chữ số. C. 9966 chữ số. D. 6699 chữ số.

Giải:

Áp dụng công thức IMG_285 để tìm các chữ số của số A.

Ta có: IMG_286

Vậy B có 6666 chữ số.

Chọn B.

 

Bài 3: Số nguyên tố dạng IMG_287 , trong đó p là số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp)

+ Ơ-le phát hiện IMG_288 năm 1750.

+ Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát hiện IMG_289 năm 1876

+ IMG_290 được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗ số có bao nhiêu chữ số?

A. IMG_291 B. IMG_292

C. IMG_293 D. IMG_294

Giải:

Giả sử số nguyên tố IMG_295 viết trong hệ thập phân có n chữ số thì IMG_296 hay IMG_297IMG_298 không chứa thừa số nguyên tố 5 nên IMG_299 ).

Suy ra: IMG_300 hay IMG_301

Thay IMG_302 , ta được IMG_303

Suy ra IMG_304 .

Vậy số nguyên tố IMG_305 viết trong hệ thập phân có 10 chữ số.

Làm tương tự ta thấy IMG_306 có 39 chữ số. số IMG_307 có 420921 chữ số.

Chọn A.

 

Bài 4: Số IMG_308 là một số nguyên tố. Hỏi nếu viết trong hệ thập phân thì số đó có bao nhiêu chữ số?

A. 227831 chữ số. B. 227832 chữ số. C. 227834 chữ số. D. 227835 chữ số.

Giải:

Áp dụng công thức IMG_309 để tìm các chữ số của số A.

IMG_310

Vậy số p này có 227832 chữ số. chọn B.

Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các công sự tại nhóm nghiên cứ Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng số Mersenne, có giá trị bằng IMG_311 . Hỏi IMG_312 có bao nhiêu chữ số?

A. 2233862 chữ số. B. 22338618 chữ số.

C. 22338617 chữ số. D. 2233863 chữ số.

Giải:

Áp dụng công thức IMG_313 để tìm các chữ số của số A.

Ta có: IMG_314

Do đó M có 22338617 chữ số.

Chọn B.

Bài 6: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khai niệm số Fermat IMG_315 với n là số nguyên dương không âm. Fermat dự đoán IMG_316 là số nguyên tố, nhưng Euler đã chứng minh được IMG_317 là hợp số. Hãy tìm số chữ số của IMG_318 .

A. 1243 chữ số. B. 1234 chữ số. C. 2452 chữ số. D. 2467 chữ số.

Giải:

Ta có: IMG_319 .

Suy ra IMG_320 . Suy ra IMG_321 có 2467 chữ số. Chọn D.

CHỦ ĐỀ 2

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LÃI SUẤT

1. Lãi đơn

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn: IMG_322

Trong đó:

IMG_323 : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

IMG_324 : Số tiền gửi ban đầu;

IMG_325 : Số kỳ hạn tính lãi;

IMG_326 : Lãi suất định kỳ, tính theo %.

2. Lãi kép

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.

a. Lãi kép, gửi một lần: IMG_327

Trong đó:

IMG_328 : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

IMG_329 : Số tiền gửi ban đầu;

IMG_330 : Số kỳ hạn tính lãi;

IMG_331 : Lãi suất định kỳ, tính theo %.

b. Lãi kép liên tục: IMG_332

Trong đó:

IMG_333 : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

IMG_334 : Số tiền gửi ban đầu;

IMG_335 : Số kỳ hạn tính lãi;

IMG_336 : Lãi suất định kỳ, tính theo %.

c. Lãi kép, gửi định kỳ.

œTrường hợp gửi tiền định kì cuối tháng.

Bài toán 1: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép IMG_337 (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền thu được là:

IMG_338

Chứng minh

Tháng

Đầu tháng

Cuối tháng

1

Chưa gửi

IMG_339  

2

IMG_340  

IMG_341  

3

IMG_342

IMG_343

IMG_344  

 

IMG_345  

Vậy sau tháng n ta được số tiền IMG_346

IMG_347 ,

Ta thấy trong ngoặc là tổng IMG_348 số hạng của cấp số nhân có IMG_349

Ta biết rằng: IMG_350 nên IMG_351

Bài toán 2: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép IMG_352 (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: IMG_353

Chứng minh:

Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là IMG_354 , mà đề cho số tiền đó chính là A nên IMG_355 .

Bài toán 3: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép IMG_356 (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: IMG_357 .

Chứng minh:

Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là IMG_358 , mà đề cho số tiền đó chính là A nên IMG_359

Như vậy trong trường hợp một này ta cần nắm vứng công thức Bài toán 1 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 2, Bài toán 3.