Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Phương pháp . Tiến hành theo các bước sau:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f.

Bước 2. Tính IMG_256 .

Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và IMG_257 .Thế thì điểm IMG_258 là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm IMG_259 đổi dấu khi x đi qua IMG_260 ”.

Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có).

Chú ý:

* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét.

* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Định lí 1: Cho hàm đa thức IMG_261 , giả sử IMG_262 khi đó nếu IMG_263 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: IMG_264IMG_265 gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.
Chứng minh:
Giả sử IMG_266 là điểm cực trị của hàm số, vì IMG_267 là hàm đa thức nên IMG_268 IMG_269 (đpcm) .

Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ IMG_270 khi đó nếu IMG_271 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: IMG_272 .

IMG_273 là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.

Chứng minh: Ta có IMG_274

IMG_275 IMG_276 . Giả sử IMG_277 là điểm cực trị của hàm số thì IMG_278 là nghiệm của phương trình IMG_279 IMG_280 .

Bài toán 01:

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU.

Phương pháp .

Giả sử IMG_281

IMG_282 Hàm số có hai điểm cực trị dương IMG_283 IMG_284 có hai nghiệm dương phân biệt : IMG_285 .

IMG_286 Hàm số có hai điểm cực trị âm IMG_287 IMG_288 có hai nghiệm âm phân biệt

IMG_289 .

IMG_290 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu IMG_291 IMG_292 có hai nghiệm trái dấu

IMG_293 .

IMG_294 Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu IMG_295 .

Ví dụ : Định m để hàm số IMG_296 có cực trị trái dấu .

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định IMG_297

Ta có: IMG_298

Hàm số có cực trị trái dấu nhau khi và chỉ khi IMG_299 có hai nghiệm phân biệt IMG_300 thỏa mãn IMG_301 IMG_302

Vậy, với IMG_303 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm m để hàm số :

1. IMG_304 có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.

2. IMG_305 đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.

3. IMG_306 có hai cực trị trái dấu.

Bài 2: Tìm m để hàm số :

1. IMG_307 đạt cực trị tại hai điểm trái dấu.

2. IMG_308 có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng IMG_309 .

3. IMG_310 có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu nhau.

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Phương pháp .

Giả sử IMG_311

IMG_312 Hàm số có hai cực trị nằm về IMG_313 phía đối với tung IMG_314 .

IMG_315 Hàm số có hai cực trị nằm về IMG_316 phía đối với trục tung IMG_317 .

IMG_318 Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành IMG_319 .

IMG_320 Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành IMG_321 .

IMG_322 Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành IMG_323 .

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Cho hàm số IMG_324 ( IMG_325 là tham số) có đồ thị là IMG_326 Xác định IMG_327 để IMG_328 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định IMG_329

Phương trình hoành độ giao điểm của IMG_330 và trục hoành:

IMG_331 IMG_332 IMG_333 hoặc IMG_334 IMG_335

IMG_336 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi IMG_337IMG_338 nghiệm phân biệt tức phương trình IMG_339IMG_340 nghiệm phân biệt khác IMG_341 IMG_342 IMG_343

Vậy, với IMG_344 thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Ví dụ 2 : Cho hàm số IMG_345 ( IMG_346 là tham số) có đồ thị là IMG_347 Xác định IMG_348 để IMG_349 có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định IMG_350

Ta có: IMG_351

Đồ thị IMG_352IMG_353 điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung Û IMG_354IMG_355 nghiệm phân biệt cùng dấu Û IMG_356 IMG_357

Vậy, với IMG_358 thì hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.