TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1. Véc tơ trong không gian

* Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu

ü Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.

2. Vecto đồng phẳng

IMG_256

* Định nghĩa: Ba vecto IMG_257 khác IMG_258 gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Chú ý:

· IMG_259 vecto khác IMG_260 gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

· Các giá của các vecto đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau.

* Điều kiện để 3 vecto khác IMG_261đồng phẳng

Định lý 1:

IMG_262  đồng phẳng IMG_263 : IMG_264

* Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

· Định lý 2: Cho 3 vecto IMG_265 không đồng phẳng. Bất kì một vecto IMG_266 nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực IMG_267 duy nhất

IMG_268

ü Chú ý: Cho vecto IMG_269 khác IMG_270 :

1. IMG_271 đồng phẳng nếu có ba số thực IMG_272 không đồng thời bằng 0 sao cho: IMG_273

2. IMG_274 không đồng phẳng nếu từ IMG_275

3. Tọa độ của vecto

Trong không gian xét hệ trục IMG_276 có trục IMG_277 vuông góc với trục IMG_278 tại O, và trục IMG_279 vuông góc với mặt phẳng IMG_280 tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục IMG_281 lần lượt là IMG_282

a) IMG_283

b) IMG_284

c) Cho IMG_285 ta có:

IMG_286IMG_287

d) M là trung điểm IMG_288 thì IMG_289

e) Cho IMG_290IMG_291 ta có:

· IMG_292

· IMG_293

· IMG_294

· IMG_295

· IMG_296

· IMG_297 (với IMG_298 )

· IMG_299IMG_300 vuông góc: IMG_301

· IMG_302IMG_303 cùng phương: IMG_304

4. Tích có hướng và ứng dụng

Tích có hướng của IMG_305IMG_306 là:

IMG_307

a. Tính chất:

· IMG_308

· IMG_309

· IMG_310IMG_311 cùng phương: IMG_312

· IMG_313 đồng phẳng IMG_314

b. Các ứng dụng tích có hướng

· Diện tích tam giác: IMG_315

· Thể tích tứ diện IMG_316

· Thể tích khối hộp: IMG_317

5. Một số kiến thức khác

a) Nếu IMG_318  chia đoạn AB theo tỉ số IMG_319  thì ta có:

IMG_320  với IMG_321

b) G là trọng tâm tam giác IMG_322

c) G là trọng tâm tứ diện IMG_323

B – CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1. IMG_324 thẳng hàng IMG_325 cùng phương IMG_326 .

Dạng 2. IMG_327 là ba đỉnh tam giác IMG_328 IMG_329 không thẳng hàng IMG_330 không cùng phương IMG_331 .

Dạng 3. IMG_332 là trọng tâm tam giác IMG_333 thì:

IMG_334

Dạng 4. Cho IMG_335 có các chân IMG_336 của các đường phân giác trong và ngoài của góc IMG_337 của IMG_338 trên IMG_339 . Ta có: IMG_340, IMG_341

Dạng 5. IMG_342 IMG_343 diện tích của hình bình hành IMG_344 là: IMG_345

Dạng 6. Đường cao IMG_346 của IMG_347 : IMG_348 IMG_349 IMG_350

Dạng 7. Tìm IMG_351 sao cho IMG_352 là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau IMG_353 hoặc IMG_354 tọa độ IMG_355 .

Dạng 8. Chứng minh IMG_356 là một tứ diện IMG_357 IMG_358 không đồng phẳng IMG_359 .

Dạng 9. IMG_360 là trọng tâm tứ diện IMG_361 thì:

IMG_362

Dạng 10. Thể tích khối tứ diện IMG_363 : IMG_364

Dạng 11. Đường cao IMG_365 của tứ diện IMG_366 : IMG_367

Dạng 12. Thể tích hình hộp: IMG_368 .

Dạng 13. Hình chiếu của điểm IMG_369 lên các mặt phẳng tọa độ và các trục:
Xem lại mục 1, công thức 17, 18.

Dạng 14. Tìm điểm đối xứng với điểm IMG_370 qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc tọa độ:
(Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để nguyên tọa độ đó)

IMG_371 : IMG_372 IMG_373 : IMG_374 IMG_375 : IMG_376

IMG_377 : IMG_378 IMG_379 : IMG_380 IMG_381 : IMG_382
Qua gốc IMG_383 : IMG_384

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho 4 điểm IMG_385 IMG_386 là:

A. Tứ diện. B. Hình chóp đều.

C. Tứ diện đều. D. Hình thang vuông

Câu 2: Cho bốn điểm IMG_387 Gọi IMG_388 lần lượt là trung điểm của IMG_389IMG_390 Khi đó IMG_391 là:

A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Tam diện vuông

Câu 3: Cho bốn điểm IMG_392 Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp IMG_393

A. IMG_394 . B. IMG_395 . C. IMG_396 . D. IMG_397

Câu 4: Cho 3 vectơ IMG_398 Xác định vec tơ IMG_399 thỏa mãn IMG_400

A. IMG_401 . B. IMG_402 . C. IMG_403 . D. IMG_404 .

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm IMG_405 . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là:

A. IMG_406 B. IMG_407 C. IMG_408 D. IMG_409

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ IMG_410 , cho ba điểm IMG_411 , IMG_412 , IMG_413 . Tìm tọa độ điểm IMG_414 sao cho IMG_415 là hình thang có hai cạnh đáy IMG_416 , IMG_417 và có góc IMG_418 bằng IMG_419

A. IMG_420 . B. IMG_421 . C. IMG_422 . D. IMG_423 .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ IMG_424 , cho hình hộp chữ nhật IMG_425IMG_426 trùng với gốc tọa độ IMG_427 , các đỉnh IMG_428 , IMG_429 , IMG_430 với IMG_431IMG_432 . Gọi IMG_433 là trung điểm của cạnh IMG_434 . Khi đó thể tích tứ diện IMG_435 đạt giá trị lớn nhất bằng

A. IMG_436 . B. IMG_437 . C. IMG_438 . D. IMG_439 .

Câu 8: Cho ba điểm IMG_440 . Nếu tam giác IMG_441 thỏa mãn hệ thức IMG_442 thì có tọa độ trọng tâm là:

A. IMG_443 B. IMG_444 C. IMG_445 D. IMG_446

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ IMG_447 , cho ba điểm IMG_448 . Biết IMG_449 , thể tích tứ diện IMG_450 bằng 3. Giá trị của biểu thức IMG_451 bằng

A. IMG_452 B. IMG_453 C. IMG_454 D. IMG_455

Câu 10: Cho hình chóp IMG_456 biết IMG_457 . Gọi IMG_458 là trung điểm của IMG_459 IMG_460 . Để khối chóp IMG_461 có thể tích bằng IMG_462 (đvtt) thì có hai điểm IMG_463 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm IMG_464 của IMG_465

A. IMG_466. B. IMG_467 C. IMG_468. D. IMG_469