TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ

Vietlearn

9 minutes

A. CHUẨN KIẾN THỨC

· Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc

của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm .

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là:

· Điều kiện cần và đủ để hai đường và tiếp xúc nhau

tại điểm có hoành độ là hệ phương trình có nghiệm

Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.

· Nếu và thì

và iếp xúc nhau Û phương trình có nghiệm kép.

Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp

– Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm , hoặc hoành độ , hoặc tung độ .

– Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.

– Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó.

Phương pháp:

Cho hàm số có đồ thị và là điểm trên . Tiếp tuyến với đồ thị tại có:

– Hệ số góc:

– Phương trình: , hay

Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại chúng ta cần đủ ba yếu tố sau:

– Hoành độ tiếp điểm:

– Tung độ tiếp điểm: (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay vào hàm số )

– Hệ số góc

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Phương pháp .

1. Hai đồ thị tiếp xúc

1.1. Định nghĩa: Hai đồ thị của hai hàm số và gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu tại M chúng có cùng tiếp tuyến.

2.1. Định lí 1: Hai đồ thị của hai hàm số và tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: có nghiệm và nghiệm của hệ là tọa độ tiếp điểm.

2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1.2. Định nghĩa: Cho hàm số . Một cát tuyến được giới hạn bởi đường thẳng khi dần tới thì gọi là tiếp tuyến của đồ thị. gọi là tiếp điểm.

Định lí 2: Đạo hàm của tại là hệ số góc của tiếp tuyến tại .

Nhận xét: Hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng .

2.2. Các bài toán về phương trình tiếp tuyến:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .

Phương pháp:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là:

với .

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc .

Phương pháp:

Cách 1:

*Phương trình tiếp tuyến có dạng:

* Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình:

Từ (2) ta tìm được , thế vào (1) ta có được . Ta có tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2:

* Giải phương trình giải phương trình này ta tìm được các nghiệm .

* Phương trình tiếp tuyến: .

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

* Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : .

*Cho hai đường thẳng và . Khi đó

i) , trong đó .

ii)

iii) .

Bài toán 01: . Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm

Phương pháp .

Bài toán 1 :

Hai đường cong và tiếp xúc nhau tại .Khi điểm và tiếp tuyến tại của trùng với tiếp tuyến tại của chỉ khi hệ phương trình sau: có nghiệm .

Tại sao khoai lang càng để lâu càng ngọt?

Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp:

tiếp xúc nhau có nghiệm kép .

Hàm nhận làm nghiệm bội nếu và . Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng chứ không phải nghiệm kép.

Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm.

Ví dụ 1. Đường cong không tiếp xúc với trục hoành tại , tức là phương trình không nhận làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng . Khi đó đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại nhưng phương trình nhận làm nghiệm bội .

Ví dụ 2. Đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng tại nhưng phương trình thì không thể có nghiệm kép.

Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến.

Bài toán 2 :

Đường cong có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ khi và chỉ khi hàm số khả vi tại . Trong trường hợp có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ thì tiếp tuyến đó có hệ số góc .