TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ
· Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số tại điểm
là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là:
· Điều kiện cần và đủ để hai đường và
tiếp xúc nhau
tại điểm có hoành độ là hệ phương trình
có nghiệm
Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
· Nếu và
thì
và
iếp xúc nhau Û phương trình
có nghiệm kép.
Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp
– Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm , hoặc hoành độ
, hoặc tung độ
.
– Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.
– Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó.
Phương pháp:
Cho hàm số có đồ thị
và
là điểm trên
. Tiếp tuyến với đồ thị
tại
có:
– Hệ số góc:
– Phương trình: , hay
Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại chúng ta cần đủ ba yếu tố sau:
– Hoành độ tiếp điểm:
– Tung độ tiếp điểm: (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay
vào hàm số
)
– Hệ số góc
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Phương pháp .
1. Hai đồ thị tiếp xúc
1.1. Định nghĩa: Hai đồ thị của hai hàm số và
gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu tại M chúng có cùng tiếp tuyến.
2.1. Định lí 1: Hai đồ thị của hai hàm số và
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình:
có nghiệm và nghiệm của hệ là tọa độ tiếp điểm.
2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1.2. Định nghĩa: Cho hàm số . Một cát tuyến
được giới hạn bởi đường thẳng
khi
dần tới
thì
gọi là tiếp tuyến của đồ thị.
gọi là tiếp điểm.
Định lí 2: Đạo hàm của tại
là hệ số góc của tiếp tuyến tại
.
Nhận xét: Hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng .
2.2. Các bài toán về phương trình tiếp tuyến:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
.
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
là:
với
.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc
.
Phương pháp:
Cách 1:
*Phương trình tiếp tuyến có dạng:
* Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình:
Từ (2) ta tìm được , thế vào (1) ta có được
. Ta có tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2:
* Giải phương trình giải phương trình này ta tìm được các nghiệm
.
* Phương trình tiếp tuyến: .
Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:
* Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : .
*Cho hai đường thẳng và
. Khi đó
i) , trong đó
.
ii)
iii) .
Bài toán 01: . Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm
Phương pháp .
Bài toán 1 :
Hai đường cong và
tiếp xúc nhau tại
.Khi điểm
và tiếp tuyến tại
của
trùng với tiếp tuyến tại
của
chỉ khi hệ phương trình sau:
có nghiệm
.
Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp:
tiếp xúc nhau
có nghiệm kép .
Hàm nhận
làm nghiệm bội
nếu
và
. Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng
chứ không phải nghiệm kép.
Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm.
Ví dụ 1. Đường cong không tiếp xúc với trục hoành tại
, tức là phương trình
không nhận
làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng
. Khi đó đồ thị
của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại
nhưng phương trình
nhận
làm nghiệm bội
.
Ví dụ 2. Đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng
tại
nhưng phương trình
thì không thể có nghiệm kép.
Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến.
Bài toán 2 :
Đường cong
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
khi và chỉ khi hàm số
khả vi tại
. Trong trường hợp
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
thì tiếp tuyến đó có hệ số góc
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
tại điểm
có dạng :
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ;
5. Có hệ số góc là 9 ;
6. Song song với đường thẳng (d ): ;
7. Vuông góc với đường thẳng (d’ ) : .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định
Ta có:
1. Phương trình tiếp tuyến tại
có phương trình :
Ta có: , khi đó phương trình
là:
Chú ý:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
là:
2. Thay vào đồ thị của (C) ta được
.
Tương tự câu 1, phương trình là:
Chú ý:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hoành độ tiếp điểm
,
phương trình tiếp tuyến:
3. Thay vào đồ thị của (C) ta được
hoặc
.
Tương tự câu 1, phương trình là:
,
Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tung độ tiếp điểm bằng
. Gọi
là tiếp điểm
Giải phương trình ta tìm được các nghiệm
.
Tính
phương trình tiếp tuyến:
4. Trục tung Oy : .Tương tự câu 1, phương trình
là:
5. Gọi là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến
.
Ta có : , theo giả thiết
, tức là
hoặc
. Tương tự câu 1
6. Gọi là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến
.
Theo bài toán: :
. Tương tự câu 1
7. Gọi là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến
.
Theo bài toán: :
. Tương tự câu 1
Ví dụ 2 .
1. Cho hàm số: . Tìm
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng
đi qua điểm
.
2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng
.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định với .
Ta có:
Với
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có :
Tiếp tuyến này đi qua nên có:
Vậy, là giá trị cần tìm.
2. Hàm số đã cho xác định với .
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến (d) :