Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 1.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM

Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trước khi đi vào các bài toán cụ thể.

1. Định nghĩa

Cho hàm số IMG_256 xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số IMG_257 xác định trên K sao cho IMG_258 thì IMG_259 được gọi là nguyên hàm của hàm số IMG_260 trên K.

Định lí 1. Nếu IMG_261 là một nguyên hàm của hàm số IMG_262 trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số IMG_263 cũng là một nguyên hàm của hàm số IMG_264 trên K.

Định lí 2. Nếu IMG_265 là một nguyên hàm của hàm số IMG_266 trên K thì mọi nguyên hàm của IMG_267 trên K đều có dạng IMG_268 với C là hằng số.

Định lí 3. Mọi hàm số IMG_269 liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm:

IMG_270 với C là hằng số.

IMG_271 với k là hằng số khác 0.

IMG_272

Bảng nguyên hàm

Chú ý: công thức tính vi phân của IMG_273IMG_274

 

Với u là một hàm số

IMG_275  

IMG_276

IMG_277  

IMG_278

IMG_279  

IMG_280  

IMG_281  

IMG_282  

IMG_283  

IMG_284

IMG_285  

IMG_286  

IMG_287  

IMG_288

IMG_289  

IMG_290

IMG_291  

IMG_292

IMG_293  

IMG_294

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Biết IMG_295 . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. IMG_296 B. IMG_297 C. IMG_298 D. IMG_299

Giải:

Đặt IMG_300 , Ta có:

IMG_301

Đặt IMG_302

Vậy IMG_303

Chọn C.

 

Bài 2: Biết IMG_304 . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. IMG_305 B. IMG_306 C. IMG_307 D. IMG_308

Giải:

IMG_309 nên

Nguyên hàm của: IMG_310 là: IMG_311 .

CHọn A.

Bài 3: Tìm một nguyên hàm của: IMG_312 biết nguyên hàm này bằng 3 khi IMG_313 .

A. IMG_314 B. IMG_315 C. IMG_316 . D. IMG_317 .

Giải:

IMG_318

Nguyên hàm của IMG_319

Ta có: IMG_320

Chọn C.

Bài 4: IMG_321 là nguyên hàm của:

A. IMG_322 . B. IMG_323 . C. IMG_324 . D. IMG_325 .

Giải:

Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng.

Ta có: IMG_326

IMG_327 là một nguyên hàm của IMG_328 .

Chọn D.

 

Bài 5: Biết IMG_329 . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. IMG_330 B. IMG_331 C. IMG_332 D. IMG_333

Giải:

Chú ý nếu chúng ta biến đổi:

IMG_334 . Là sai

Điều sau đây mới đúng: IMG_335

Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức IMG_336 về dạng IMG_337 như sau:

IMG_338

Chọn D.

 

CHỦ ĐỀ 2.

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN.

1. Định nghĩa

Cho hàm số IMG_437 thỏa:

+ Liên tục trên đoạn IMG_438 .

+ IMG_439 là nguyên hàm của IMG_440 trên đoạn IMG_441 .

Lúc đó hiệu số IMG_442 được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu IMG_443

Chú ý:

+ a, b được gọi là 2 cận của tích phân.

+ a = b thì IMG_444

+ a > b thì IMG_445 .

+ Tích phân không phụ thuộc và biến số, tức là IMG_446 .

2. Tính chất của tích phân:

+ IMG_447 .

+ IMG_448 với k là hằng số khác 0.

+ IMG_449 .

Chú ý:

Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức IMG_450 .

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Một lần nữa xin nhắc lại rằng đây là cuốn sách đề cập đến các bài toán vận dụng và vận dụng cao nên trước khi sử dụng sách này quý bạn đọc cần có kiến thwucs cơ bản tốt. Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu các bài toán tích phân khá khó:

Bài 1: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau: IMG_451IMG_452 thì:

A. IMG_453 B. IMG_454 . C. IMG_455 D. IMG_456 .

Giải:

IMG_457

IMG_458 nên IMG_459 , vậy:

IMG_460

IMG_461 .

IMG_462 nên (1) không thỏa mãn với mọi IMG_463 ,hoặc thay 4 vào đáp án (1) ta thấy đều không thỏa.

Đối với (2). Vì IMG_464 nên chọn l=1 lúc đó IMG_465 .

Chọn D.

 

Bài 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện IMG_466 . Khi đó:

A. IMG_467 B. IMG_468 . C. IMG_469 D. IMG_470 .

Giải:

IMG_471

Dùng phương pháp tích phân từng phần

IMG_472

IMG_473

Vậy IMG_474

IMG_475

IMG_476 mà k là số nguyên dương nên chọn IMG_477 .

Chọn C.

Bài 3: Xét tích phân IMG_478 . Bằng cách đặt IMG_479 tích phân A được biến đổi thành tích phân nào sau đây.

A. IMG_480 . B. IMG_481 . C. IMG_482 . D. IMG_483 .

Giải:

Ta có: IMG_484

IMG_485

Vậy: IMG_486 , lúc này đặt IMG_487 và đổi cận ta đc:

IMG_488 . Chọn A.

Bài 4: Đặt IMG_489 thì IMG_490 được biến đổi thành IMG_491 . Hãy xác định IMG_492 :

A. IMG_493 B. IMG_494 C. IMG_495 D. IMG_496

Giải:

IMG_497

Đặt IMG_498

Vậy: IMG_499

Chọn B.

 

Bài 5: Biết IMG_500IMG_501 . Tính IMG_502 .

A. IMG_503 B. IMG_504 C. IMG_505 D. IMG_506

Giải:

IMG_507 .

IMG_508IMG_509

Nên: IMG_510

Chọn D.

Chú ý: tích phân không phụ thuộc vào biến số.