Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

Ứng dụng đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

Trong khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ đề cập những bài tập thường gặp. Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ về ứng dụng đơn điệu trong việc giải phương trình…, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số – lượng giác.

Phương pháp .

Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng f(x) = g(m) ,

f(x) > g(m),…Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán.

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy

IMG_256 Nếu hàm số IMG_257 liên tục và đồng biến trên D thì :

IMG_258IMG_259 .

IMG_260 Nếu hàm số IMG_261 liên tục và nghịch biến trên D thì :

IMG_262IMG_263 .

Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức và các bài toán giải phương trình, bất phương trình. Cụ thể ta có các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số IMG_264 liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên IMG_265 thì số nghiệm của phương trình : IMG_266 (trên IMG_267 ) không nhiều hơn một và IMG_268 IMG_269 .

Chứng minh: Ta giả sử IMG_270 là hàm đồng biến trên IMG_271

IMG_272 Nếu IMG_273

IMG_274 Nếu IMG_275

Tính chất 2: Nếu hàm số IMG_276 liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số IMG_277 liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : IMG_278 không nhiều hơn một.

Chứng minh: Giả sử IMG_279 đồng biến còn IMG_280 nghịch biến trên IMG_281IMG_282 .

* Nếu IMG_283 vô nghiệm

* Nếu IMG_284 vô nghiệm

Vậy IMG_285 là nghiệm duy nhất của phương trình IMG_286 .

Tính chất 3: Nếu hàm số IMG_287 liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) trên IMG_288 thì IMG_289 .

Tính chất 4: Cho hàm số IMG_290 liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng liên tục IMG_291 . Nếu IMG_292 thì phương trình IMG_293 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng IMG_294 .

Chứng minh:

Giả sử phương trình IMG_295 vô nghiệm trên IMG_296 .

Khi đó IMG_297 (hoặc IMG_298 ).

Suy ra IMG_299 (hoặc IMG_300 ).

Điều này trái với giả thiết IMG_301 .

Vậy phương trình IMG_302 có ít nhất một nghiệm trên IMG_303 .

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình IMG_304 có m nghiệm thì phương trình IMG_305IMG_306 nghiệm.

Hệ quả 2: Cho hàm số IMG_307 có đạo hàm đến cấp k liên tục trên IMG_308 . Nếu phương trình IMG_309 có đúng m nghiệm thì phương trình IMG_310 có nhiều nhất là IMG_311 nghiệm.

Thật vậy: Giả sử phương trình IMG_312 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình IMG_313 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán.

Từ hệ quả 2 IMG_314 nếu IMG_315 có một nghiệm thì IMG_316 có nhiều nhất hai nghiệm.

Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi theo hai hướng sau:

Hướng 1: Đưa phương trình về dạng IMG_317 , trong đó IMG_318 là một hàm số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét.

Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f.

IMG_319 Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm.

Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình IMG_320 ta thực hiện như sau

Bước 1: Nhập biểu thức IMG_321 (Dùng phím ALPHA+ X)

Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của X (nhập giá trị bất kì) =.

IMG_322 Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý

*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến

* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến.

* Nếu hàm số IMG_323 đồng biến thì IMG_324 là hàm số đồng biến.

* Nếu hàm số IMG_325 đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số IMG_326 là một hàm nghịch biến.

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: IMG_327 , trong đó IMG_328 là các hàm theo x.

Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán ngược nhau.

Chú ý 1:

Ký hiệu IMG_329một đoạn,một khoảng hoặc một nửa khoảng.

IMG_330 Nếu IMG_331liên tục trên đoạn IMG_332IMG_333 thì phương trình IMG_334 ít nhất một nghiệm IMG_335 .

IMG_336 Nếu IMG_337liên tụcđơn điệu trên IMG_338 thì phương trình IMG_339không quá một nghiệm trên IMG_340 .

 

Chú ý 2:

Nếu IMG_341 liên tục và tăng trên IMG_342 , IMG_343 liên tục và giảm (hoặc là hàm hằng) trên IMG_344 thì phương trình IMG_345 có không quá một nghiệm trên IMG_346 .

IMG_347 Nếu phương trình IMG_348IMG_349 nghiệm trên khoảng IMG_350 thì phương trình IMG_351 có không quá IMG_352 nghiệm trên khoảng IMG_353 .

IMG_354 Tổng của IMG_355 hàm tăng trên IMG_356 là một hàm tăng trên IMG_357 , tổng của IMG_358 hàm giảm trên IMG_359 là một hàm giảm trên IMG_360 .

IMG_361 Nếu IMG_362 là hàm tăng trên IMG_363 thì IMG_364 tăng trên IMG_365 nếu IMG_366IMG_367 giảm trên IMG_368 nếu IMG_369 .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình:

1. IMG_370 Đề thi Cao đẳng năm 2012

2. IMG_371

3. IMG_372 Đề thi Đại học khối B năm 2010

4. IMG_373

Lời giải.

1. Điều kiện: IMG_374 .

Phương trình đã cho tương đương với: IMG_375 IMG_376

Xét hàm số: IMG_377 trên IMG_378 .

Ta có: IMG_379 , suy ra IMG_380 đồng biến trên IMG_381

Do đó IMG_382 IMG_383

2. Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức dưới dấu căn hơn kém nhau 1. Do đó nếu ta đặt đặt IMG_384 IMG_385 thì phương trình đã cho trở thành: IMG_386 .

Trong đó IMG_387 , có: IMG_388 nên f(t) là hàm đồng biến.

Do đó: IMG_389

Vậy phương trình có hai nghiệm: IMG_390 .

3. Điều kiện: IMG_391

Dễ thấy IMG_392 hoặc IMG_393 không là nghiệm phương trình.

Cách 1: Xét hàm số: IMG_394 liên tục trên khoảng IMG_395 .

Ta có: IMG_396

IMG_397

IMG_398 .

IMG_399 đồng biến trên IMG_400IMG_401 .

Do đó trên IMG_402 phương trình IMG_403 có đúng 1 nghiệm IMG_404 .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất IMG_405 .

 

Cách 2: Phương trình : IMG_406

IMG_407

IMG_408

IMG_409

IMG_410 nên phương trình

IMG_411 .

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất IMG_412 .

4. Điều kiện: IMG_413 .

Dễ thấy, IMG_414 hoặc IMG_415 không là nghiệm phương trình.

Phương trình cho viết lại: IMG_416

IMG_417

IMG_418

Xét hàm số IMG_419 , với IMG_420 .

Ta có: IMG_421IMG_422

IMG_423 , do đó IMG_424 , mọi IMG_425

Vậy, phương trình cho có nghiệm duy nhất IMG_426 .

Ví dụ 2 : Giải phương trình: IMG_427

Lời giải.

Điều kiện xác định: IMG_428 .

Phương trình đã cho tương đương: IMG_429

IMG_430 IMG_431

Đặt IMG_432 với x thuộc IMG_433

Ta có: IMG_434 với IMG_435

IMG_436 hàm số IMG_437 đồng biến trên IMG_438 IMG_439 phương trình IMG_440 có tối đa một nghiệm

IMG_441 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất IMG_442 .