Ứng dụng đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình
Trong khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ đề cập những bài tập thường gặp. Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ về ứng dụng đơn điệu trong việc giải phương trình…, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số – lượng giác.
Phương pháp .
Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng f(x) = g(m) ,
f(x) > g(m),…Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán.
Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy
Nếu hàm số
liên tục và đồng biến trên D thì :
và
.
Nếu hàm số
liên tục và nghịch biến trên D thì :
và
.
Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức và các bài toán giải phương trình, bất phương trình. Cụ thể ta có các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên
thì số nghiệm của phương trình :
(trên
) không nhiều hơn một và
.
Chứng minh: Ta giả sử là hàm đồng biến trên
Nếu
Nếu
Tính chất 2: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số
liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình :
không nhiều hơn một.
Chứng minh: Giả sử đồng biến còn
nghịch biến trên
và
.
* Nếu vô nghiệm
* Nếu vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình
.
Tính chất 3: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) trên
thì
.
Tính chất 4: Cho hàm số liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng liên tục
. Nếu
thì phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Chứng minh:
Giả sử phương trình vô nghiệm trên
.
Khi đó (hoặc
).
Suy ra (hoặc
).
Điều này trái với giả thiết .
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
.
Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu phương trình có m nghiệm thì phương trình
có
nghiệm.
Hệ quả 2: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp k liên tục trên
. Nếu phương trình
có đúng m nghiệm thì phương trình
có nhiều nhất là
nghiệm.
Thật vậy: Giả sử phương trình có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình
có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán.
Từ hệ quả 2 nếu
có một nghiệm thì
có nhiều nhất hai nghiệm.
Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi theo hai hướng sau:
Hướng 1: Đưa phương trình về dạng , trong đó
là một hàm số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét.
Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f.
Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm.
Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình ta thực hiện như sau
Bước 1: Nhập biểu thức (Dùng phím ALPHA+ X)
Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của X (nhập giá trị bất kì) =.
Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý
*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến
* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến.
* Nếu hàm số đồng biến thì
là hàm số đồng biến.
* Nếu hàm số đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số
là một hàm nghịch biến.
Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: , trong đó
là các hàm theo x.
Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán ngược nhau.
Chú ý 1:
Ký hiệu là một đoạn,một khoảng hoặc một nửa khoảng.
Nếu
liên tục trên đoạn
và
thì phương trình
có ít nhất một nghiệm
.
Nếu
liên tục và đơn điệu trên
thì phương trình
có không quá một nghiệm trên
.
Chú ý 2:
Nếu liên tục và tăng trên
,
liên tục và giảm (hoặc là hàm hằng) trên
thì phương trình
có không quá một nghiệm trên
.
Nếu phương trình
có
nghiệm trên khoảng
thì phương trình
có không quá
nghiệm trên khoảng
.
Tổng của
hàm tăng trên
là một hàm tăng trên
, tổng của
hàm giảm trên
là một hàm giảm trên
.
Nếu
là hàm tăng trên
thì
tăng trên
nếu
và
giảm trên
nếu
.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
1. Đề thi Cao đẳng năm 2012
2.
3. Đề thi Đại học khối B năm 2010
4.
Lời giải.
1. Điều kiện: .
Phương trình đã cho tương đương với:
Xét hàm số: trên
.
Ta có: , suy ra
đồng biến trên
Do đó
2. Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức dưới dấu căn hơn kém nhau 1. Do đó nếu ta đặt đặt
thì phương trình đã cho trở thành:
.
Trong đó , có:
nên f(t) là hàm đồng biến.
Do đó:
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
3. Điều kiện:
Dễ thấy hoặc
không là nghiệm phương trình.
Cách 1: Xét hàm số: liên tục trên khoảng
.
Ta có:
.
đồng biến trên
và
.
Do đó trên phương trình
có đúng 1 nghiệm
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Cách 2: Phương trình :
Vì nên phương trình
.
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất .
4. Điều kiện: .
Dễ thấy, hoặc
không là nghiệm phương trình.
Phương trình cho viết lại:
Xét hàm số , với
.
Ta có: và
, do đó
, mọi
Vậy, phương trình cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 2 : Giải phương trình:
Lời giải.
Điều kiện xác định: .
Phương trình đã cho tương đương:
Đặt với x thuộc
Ta có: với
hàm số
đồng biến trên
phương trình
có tối đa một nghiệm
Và (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
.