PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng cách
cho trước là mặt cầu tâm
và bán kính
Kí hiệu
Trong không gian với hệ trục
– Mặt cầu tâm
bán kính
có phương trình là:
– Phương trình: với
là phương trình mặt cầu tâm
bán kính
.
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Ø khi và chỉ khi
không cắt mặt cầu
Ø khi và chỉ khi
tiếp xúc mặt cầu
Ø khi và chỉ khi
cắt mặt cầu
theo
giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng có tâm
và có bán kính
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
a) Cho mặt cầu và đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu của
lên
và
là khoảng cách từ
đến
![]() |
![]() |
![]() |
Ø Nếu thì
cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1)
Ø Nếu thì
cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)
Ø Nếu thì
không cắt mặt cầu (H.3.3)
B – CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1. Biết trước tâm và bán kính
: Phương trình
Dạng 2. Tâm và đi qua điểm
:
· Bán kính
· Phương trình .
Dạng 3. Mặt cầu đường kính
· Tâm là trung điểm
:
· Bán kính
· Phương trình .
Dạng 4. Mặt cầu tâm tiếp xúc mặt phẳng
:
· Bán kính
· Phương trình .
Dạng 5. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua 4 điểm
)
· Giả sử mặt cầu có dạng:
· Thế tọa độ của điểm vào phương trình (2) ta được 4 phương trình
· Giải hệ phương trình tìm
· Viết phương trình mặt cầu.
Dạng 6. Mặt cầu đi qua và tâm
:
· Giả sử mặt cầu có dạng:
· Thế tọa độ của điểm vào phương trình (2) ta được 3 phương trình
·
· Giải hệ 4 phương trình tìm
· Viết phương trình mặt cầu.
Dạng 7. Mặt cầu đi qua hai điểm
và tâm thuộc đường thẳng
Cách 1:
· Tham số hóa tọa độ tâm theo đường thẳng
(tham số
)
· Ta có
. Giải pt tìm ra
tọa độ
, tính được
.
Cách 2:
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
.
· Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng (giải hệ tìm tọa độ tâm
)
· Bán kính . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.
(Chú ý: Nếu
hoặc
thì không sử dụng được cách 2 này)
Dạng 8. Mặt cầu có tâm
và tiếp xúc với mặt cầu
cho trước:
· Xác định tâm và bán kính
của mặt cầu
· Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính của mặt cầu
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Dạng 9. Mặt cầu đối xứng Mặt cầu
qua mặt phẳng
· Tìm điểm đối xứng với tâm
qua mp
· Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm có bán kính
.
Dạng 10. Mặt cầu đối xứng mặt cầu
qua đường thẳng
· Tìm điểm đối xứng với tâm
qua mp
(xem cách làm ở phần đường thẳng)
· Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm có bán kính
.
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
và
. Mặt cầu
tâm I đi qua
và độ dài
(biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu
là
A. B.
C.
D.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục
đi qua
và cắt mặt phẳng
theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
A. . B.
.
C. . D.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ viết phương trình mặt cầu có tâm
và tiếp xúc với đường thẳng
A. . B.
.
C. . D.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có phương trình
và đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng
tiếp xúc mặt cầu
tại điểm
biết đường thẳng
tạo với đường thẳng
một góc
thỏa mãn
A. . B.
.
C. . D.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
Tìm tọa độ điểm
thuộc đường thẳng
sao cho mặt cầu
tâm
tiếp xúc với trục
có bán kính bằng 2.
A. . B.
.
C. . D.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng
có phương trình:
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng
A. . B.
.
C. . D.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng chứa trục
và cắt mặt cầu
theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
A. . B.
. C.
. D.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
và cắt mặt phẳng
tại điểm
Viết phương trình mặt cầu
có tâm
thuộc đường thẳng
và tiếp xúc với mặt phẳng
tại điểm
biết diện tích tam giác
bằng
và tâm
có hoành độ âm.
A. . B.
.
C. . D.
Câu 9: Trong không gian tọa độ viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm
biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng
A. . B.
.
C. . D.
Câu 10: Trong không gian cho 3 điểm
và mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng
đi qua qua
song song với
và tiếp xúc với mặt cầu
có tâm
và có bán kính
A. hoặc
.
B. hoặc
.
C. hoặc
.
D. hoặc