ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. CHUẨN KIẾN THỨC

TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Định nghĩa :

Giả sử là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số xác định trên được gọi là :

Đồng biến trên nếu với mọi

Nghịch biến trên nếu với .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì với mọi

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì với mọi

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý :

Giả sử là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , là hàm số liên tục trên và có đạo hàm tại mọi điểm trong của ( tức là điểm thuộc nhưng không phải đầu mút của ) .Khi đó :

Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng

Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng

Nếu với mọi thì hàm số không đổi trên khoảng

Chú ý :

Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên

Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số nghịch biến trên .

Ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . Nếu với

( hoặc với ) và tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên .

Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình.

*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = (trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K .