ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa :
Giả sử là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số
xác định trên
được gọi là :
Đồng biến trên
nếu với mọi
Nghịch biến trên
nếu với
.
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
Nếu hàm số
đồng biến trên khoảng
thì
với mọi
Nếu hàm số
nghịch biến trên khoảng
thì
với mọi
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Định lý :
Giả sử là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn ,
là hàm số liên tục trên
và có đạo hàm tại mọi điểm trong của
( tức là điểm thuộc
nhưng không phải đầu mút của
) .Khi đó :
Nếu
với mọi
thì hàm số
đồng biến trên khoảng
Nếu
với mọi
thì hàm số
nghịch biến trên khoảng
Nếu
với mọi
thì hàm số
không đổi trên khoảng
Chú ý :
Nếu hàm số
liên tục trên
và có đạo hàm
trên khoảng
thì hàm số
đồng biến trên
Nếu hàm số
liên tục trên
và có đạo hàm
trên khoảng
thì hàm số
nghịch biến trên
.
Ta có thể mở rộng định lí trên như sau
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
. Nếu
với
( hoặc với
) và
tại một số hữu hạn điểm của
thì hàm số
đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
.
Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình.
*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = (trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K
.
*Nếu hàm số f là hàm nhất biến , với a,b,c,d là các số thực và ad – bc
0 thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH .
Phương pháp .
B1.Tìm tập xác định của hàm số f
B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm sao cho
= 0 hoặc
không xác định .
B3. Lập bảng xét dấu ,dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số .
B4. Kết luận.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. 2.
Lời giải.
1. Tập xác định :
Ta có:
,suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .
Giới hạn
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( và (
2. Tập xác định :
Ta có:
, suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .
Giới hạn
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( và (
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. 2.
Lời giải.
1. Tập xác định :
Ta có:
Giới hạn
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( và (
;