ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. CHUẨN KIẾN THỨC

TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Định nghĩa :

Giả sử IMG_256 là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số IMG_257 xác định trên IMG_258 được gọi là :

IMG_259 Đồng biến trên IMG_260 nếu với mọi IMG_261 IMG_262

IMG_263 Nghịch biến trên IMG_264 nếu với IMG_265 IMG_266 .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số IMG_267 có đạo hàm trên khoảng IMG_268

IMG_269 Nếu hàm số IMG_270 đồng biến trên khoảng IMG_271 thì IMG_272 với mọi IMG_273

IMG_274 Nếu hàm số IMG_275 nghịch biến trên khoảng IMG_276 thì IMG_277 với mọi IMG_278

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý :

Giả sử IMG_279 là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , IMG_280 là hàm số liên tục trên IMG_281 và có đạo hàm tại mọi điểm trong của IMG_282 ( tức là điểm thuộc IMG_283 nhưng không phải đầu mút của IMG_284 ) .Khi đó :

IMG_285 Nếu IMG_286 với mọi IMG_287 thì hàm số IMG_288 đồng biến trên khoảng IMG_289

IMG_290 Nếu IMG_291 với mọi IMG_292 thì hàm số IMG_293 nghịch biến trên khoảng IMG_294

IMG_295 Nếu IMG_296 với mọi IMG_297 thì hàm số IMG_298 không đổi trên khoảng IMG_299

Chú ý :

IMG_300 Nếu hàm số IMG_301 liên tục trên IMG_302 và có đạo hàm IMG_303 trên khoảng IMG_304 thì hàm số IMG_305 đồng biến trên IMG_306

IMG_307 Nếu hàm số IMG_308 liên tục trên IMG_309 và có đạo hàm IMG_310 trên khoảng IMG_311 thì hàm số IMG_312 nghịch biến trên IMG_313 .

IMG_314 Ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số IMG_315 có đạo hàm trên khoảng IMG_316 . Nếu IMG_317 với IMG_318

( hoặc IMG_319 với IMG_320 ) và IMG_321 tại một số hữu hạn điểm của IMG_322 thì hàm số IMG_323 đồng biến (hoặc nghịch biến) trên IMG_324 .

Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình.

*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = IMG_325(trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K IMG_326.

*Nếu hàm số f là hàm nhất biến , IMG_327với a,b,c,d là các số thực và ad – bc IMG_3280 thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K IMG_329

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH .

Phương pháp .

B1.Tìm tập xác định của hàm số f

B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm IMG_330 sao cho IMG_331 = 0 hoặc IMG_332 không xác định .

B3. Lập bảng xét dấu IMG_333 ,dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số .

B4. Kết luận.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. IMG_334 2. IMG_335

Lời giải.

1. Tập xác định : IMG_336

Ta có: IMG_337 IMG_338 ,suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .

Giới hạn IMG_339 IMG_340

Bảng biến thiên:

IMG_341

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( IMG_342 và ( IMG_343

2. Tập xác định : IMG_344

Ta có: IMG_345 IMG_346 , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .

Giới hạn IMG_347 IMG_348

Bảng biến thiên:

IMG_349

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( IMG_350 và ( IMG_351

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. IMG_352 2. IMG_353

Lời giải.

1. Tập xác định : IMG_354

Ta có: IMG_355

IMG_356 IMG_357

Giới hạn IMG_358 IMG_359

Bảng biến thiên:

IMG_360

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( IMG_361 và ( IMG_362 ;