Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. CHUẨN KIẾN THỨC

1. Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số xác định trên tập hợp IMG_256IMG_257

IMG_258 được gọi là một điểm cực đại của hàm số IMG_259 nếu tồn tại một khoảng IMG_260 chứa điểm IMG_261 sao cho: IMG_262 IMG_263 .

Khi đó IMG_264 được gọi là giá trị cực đại của hàm số IMG_265 .

IMG_266 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số IMG_267 nếu tồn tại một khoảng IMG_268 chứa điểm IMG_269 sao cho: IMG_270 .

Khi đó IMG_271 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số IMG_272 .

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu IMG_273 là một điểm cực trị của hàm số IMG_274 thì ngư=ời ta nói rằng hàm số IMG_275 đạt cực trị tại điểm IMG_276 .

Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp IMG_277

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số.

Chú ý.

a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) của hàm số f chưa hẳn đã là GTLN (GTNN) của hàm số f trên tập xác định D mà f(x0) chỉ là GTLN (GTNN) của hàm số f trên khoảng (a,b) IMG_278D và (a;b) chứa x0 .

b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D của hàm số f thì hàm số f không có cực trị .

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số IMG_279 đạt cực trị tại điểm IMG_280 . Khi đó , nếu IMG_281 có đạo hàm tại điểm IMG_282 thì IMG_283 .

Chú ý :

IMG_284 Đạo hàm IMG_285có thể triệt tiêu tại điểm IMG_286 nhưng hàm số IMG_287 không đạt cực trị tại điểm IMG_288 .

IMG_289 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

IMG_290 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng IMG_291 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số IMG_292 liên tục trên khoảng IMG_293 chứa điểm IMG_294 và có đạo hàm trên các khoảng IMG_295IMG_296 . Khi đó :

Nếu IMG_297 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm IMG_298 .

Nếu IMG_299 thì hàm số đạt cực đại tại điểm IMG_300 .

Định lý 3: Giả sử hàm số IMG_301 có đạo hàm cấp một trên khoảng IMG_302 chứa điểm IMG_303 , IMG_304IMG_305 có đạo hàm cấp hai khác IMG_306 tại điểm IMG_307 .

Nếu IMG_308 thì hàm số IMG_309 đạt cực đại tại điểm IMG_310 .

Nếu IMG_311 thì hàm số IMG_312 đạt cực tiểu tại điểm IMG_313 .

Chú ý :

1. Nếu IMG_314 là một điểm cực trị của hàm số IMG_315 thì điểm IMG_316 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số IMG_317 .

2. Trong trường hợp IMG_318 không tồn tại hoặc IMG_319 thì định lý 3 không dùng được.

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.

Phương pháp giải

Tìm tập xác định D của hàm số f.

Tính f’(x).

Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x0 IMG_320 D mà tại đó hàm f liên tục nhưng f’(x0) không tồn tại.

Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý 3 (tính f’’(x)) để xác định điểm cực trị của hàm số.

Chú ý: Cho hàm số IMG_321 xác định trên D.

Điểm IMG_322 là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:

IMG_323 Tại IMG_324 đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

IMG_325 Đạo hàm đổi dấu khi IMG_326 đi qua IMG_327 .

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. IMG_328 2. IMG_329

Lời giải.

1. Tập xác định : IMG_330

Ta có: IMG_331 IMG_332 , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị.

Giới hạn : IMG_333 IMG_334

Bảng biến thiên

IMG_335

2. Tập xác định : IMG_336

Ta có: IMG_337 , IMG_338 IMG_339

Giới hạn : IMG_340 IMG_341

Bảng biến thiên

IMG_342

Hàm số đạt cực đại tại IMG_343 ,hàm số đạt cực tiểu tại IMG_344 .

Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. IMG_345 2. IMG_346

Lời giải.

1. Tập xác định : IMG_347

Ta có: IMG_348 , IMG_349 IMG_350 .

Giới hạn : IMG_351 ;

IMG_352

Bảng biến thiên

IMG_353

Hàm số đạt cực tiểu tại IMG_354IMG_355 ,hàm số đạt cực đại tại IMG_356IMG_357 .

2. Tập xác định : IMG_358

Ta có: IMG_359 , IMG_360 IMG_361

Giới hạn : IMG_362

Bảng biến thiên

IMG_363

Hàm số đạt cực tiểu tại IMG_364IMG_365 ,hàm số đạt cực đại tại IMG_366IMG_367