PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO

Vietlearn

8 minutes

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1. Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng cách cho trước là mặt cầu tâm và bán kính Kí hiệu

Trong không gian với hệ trục

– Mặt cầu tâm bán kính có phương trình là:

– Phương trình: với là phương trình mặt cầu tâm bán kính .

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Ø khi và chỉ khi không cắt mặt cầu

Ø khi và chỉ khi tiếp xúc mặt cầu

Ø khi và chỉ khi cắt mặt cầu theo

giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng có tâm

và có bán kính

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

a) Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi là hình chiếu của lên và là khoảng cách từ đến

Ø Nếu thì cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1)

Ø Nếu thì cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)

Ø Nếu thì không cắt mặt cầu (H.3.3)

B – CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1. Biết trước tâm và bán kính : Phương trình

Dạng 2. Tâm và đi qua điểm :

· Bán kính

· Phương trình .

Dạng 3. Mặt cầu đường kính

· Tâm là trung điểm :

· Bán kính

· Phương trình .

Dạng 4. Mặt cầu tâm tiếp xúc mặt phẳng :

· Bán kính

· Phương trình .

Dạng 5. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua 4 điểm )

· Giả sử mặt cầu có dạng:

· Thế tọa độ của điểm vào phương trình (2) ta được 4 phương trình

· Giải hệ phương trình tìm

· Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 6. Mặt cầu đi qua và tâm :

· Giả sử mặt cầu có dạng:

· Thế tọa độ của điểm vào phương trình (2) ta được 3 phương trình

· Giải hệ 4 phương trình tìm

· Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 7. Mặt cầu đi qua hai điểm và tâm thuộc đường thẳng

Cách 1:

· Tham số hóa tọa độ tâm theo đường thẳng (tham số )

· Ta có . Giải pt tìm ra tọa độ , tính được .

Cách 2:

· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .

· Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng (giải hệ tìm tọa độ tâm )

Tại sao giữa quỹ đạo của sao Hoả và sao Mộc lại tập trung nhiều tiểu hành tinh đến vậy?

· Bán kính . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.
(Chú ý: Nếu hoặc thì không sử dụng được cách 2 này)

Dạng 8. Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt cầu cho trước:

· Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

· Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính của mặt cầu

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Dạng 9. Mặt cầu đối xứng Mặt cầu qua mặt phẳng

· Tìm điểm đối xứng với tâm qua mp

· Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm có bán kính .

Dạng 10. Mặt cầu đối xứng mặt cầu qua đường thẳng

· Tìm điểm đối xứng với tâm qua mp (xem cách làm ở phần đường thẳng)

· Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm có bán kính .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm và . Mặt cầu tâm I đi qua và độ dài (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu là

A. B. C. D.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục đi qua và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

A. . B. .

C. . D.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng

A. . B. .

C. . D.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có phương trình

và đường thẳng Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc mặt cầu tại điểm biết đường thẳng tạo với đường thẳng một góc thỏa mãn

A. . B. .

C. . D.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho mặt cầu tâm tiếp xúc với trục có bán kính bằng 2.

A. . B. .

C. . D.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng có phương trình: . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng

A. . B. .

C. . D.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng chứa trục và cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

A. . B. . C. . D.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và cắt mặt phẳng tại điểm Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm biết diện tích tam giác bằng và tâm có hoành độ âm.