VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa và các phép toán

· Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.

· Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A¢B¢C¢D¢, ta có:

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có: ;

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng phương. Khi đó: đồng phẳng Û $! m, n Î R:

· Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.

Khi đó: $! m, n, p Î R:

3. Tích vô hướng của hai vectơ

· Góc giữa hai vectơ trong không gian:

· Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho . Khi đó:

+ Với . Qui ước:

+

4. Các dạng toán thường gặp:

a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.

b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

– Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n Î R: thì đồng phẳng

+ Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:

c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian

d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở . Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:

– Chọn ba vec tơ không đồng phẳng so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

– Phân tích

– Khi đó

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Sử dụng các kết quả

· là bốn điểm đồng phẳng

· là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm bất kì ta có trong đó .

B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta phân tích như sau:

.

Câu 2: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:

.

Với mọi điểm bất kì khác , , , , ta có:

.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ; . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi là tâm của hình bình hành . Ta phân tích như sau:

(do tính chất của đường trung tuyến)

.

Câu 4: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta phân tích:

(tính chất đường trung tuyến)

.

Câu 5: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt , , , . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta phân tích:

.

.

.

.

Câu 6: Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành và . Khẳng định nào sau đây sai?

A. .

B. Bốn điểm , , , đồng phẳng.

C. .

D. Ba vectơ ; ; không đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

A đúng do tính chất đường trung bình trong và tính chất của hình bình hành .

B đúng do nên bốn điểm , , , đồng phẳng.

C đúng do việc ta phân tích:

.

D sai do giá của ba vectơ ; ; đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Câu 7: Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi ”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. là trung điểm của đoạn ( , lần lượt là trung điểm và ).

B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .

C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .

D. Chưa thể xác định được.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta gọi và lần lượt là trung điểm và .

Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

là trung điểm đoạn .

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

Câu 8: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi là trung điểm .

Ta phân tích:

.