Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa và các phép toán

· Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.

· Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: IMG_256

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: IMG_257

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A¢B¢C¢D¢, ta có: IMG_258

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có: IMG_259 ; IMG_260

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

IMG_261

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

IMG_262

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: IMG_263

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có:

IMG_264

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ IMG_265 , trong đó IMG_266 không cùng phương. Khi đó: IMG_267 đồng phẳng Û $! m, n Î R: IMG_268

· Cho ba vectơ IMG_269 không đồng phẳng, IMG_270 tuỳ ý.

Khi đó: $! m, n, p Î R: IMG_271

3. Tích vô hướng của hai vectơ

· Góc giữa hai vectơ trong không gian:

IMG_272

· Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho IMG_273 . Khi đó: IMG_274

+ Với IMG_275 . Qui ước: IMG_276

+ IMG_277

4. Các dạng toán thường gặp:

a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.

b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

– Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n Î R: IMG_278 thì IMG_279 đồng phẳng

+ Để phân tích một vectơ IMG_280 theo ba vectơ IMG_281 không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: IMG_282

c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian

d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở IMG_283 . Vì vậy để tính độ dài của đoạn IMG_284 ta thực hiện theo các bước sau:

– Chọn ba vec tơ không đồng phẳng IMG_285 so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

– Phân tích IMG_286

– Khi đó IMG_287

IMG_288

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Sử dụng các kết quả

· IMG_289 là bốn điểm đồng phẳng IMG_290

· IMG_291 là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm IMG_292 bất kì ta có IMG_293 trong đó IMG_294 .

B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình lăng trụ IMG_295 , IMG_296 là trung điểm của IMG_297 . Đặt IMG_298 , IMG_299 , IMG_300 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IMG_301 . B. IMG_302 . C. IMG_303 . D. IMG_304 .

IMG_305Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta phân tích như sau:

IMG_306

IMG_307 .

Câu 2: Trong không gian cho điểm IMG_308 và bốn điểm IMG_309 , IMG_310 , IMG_311 , IMG_312 không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để IMG_313 , IMG_314 , IMG_315 , IMG_316 tạo thành hình bình hành là

A. IMG_317 . B. IMG_318 .

C. IMG_319 . D. IMG_320 .

IMG_321Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Trước hết, điều kiện cần và đủ để IMG_322 là hình bình hành là:

IMG_323 .

Với mọi điểm IMG_324 bất kì khác IMG_325 , IMG_326 , IMG_327 , IMG_328 , ta có:

IMG_329

IMG_330 .

Câu 3: Cho hình chóp IMG_331 có đáy IMG_332 là hình bình hành. Đặt IMG_333 ; IMG_334 ; IMG_335 ; IMG_336 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IMG_337 . B. IMG_338 . C. IMG_339 . D. IMG_340 .

Hướng dẫn giải:

IMG_341Chọn A.

Gọi IMG_342 là tâm của hình bình hành IMG_343 . Ta phân tích như sau:

IMG_344 (do tính chất của đường trung tuyến)

IMG_345 .

Câu 4: Cho tứ diện IMG_346. Gọi IMG_347IMG_348 lần lượt là trung điểm của IMG_349IMG_350. Đặt IMG_351 , IMG_352 , IMG_353 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IMG_354 . B. IMG_355 .

C. IMG_356 . D. IMG_357 .

Hướng dẫn giải:

IMG_358Chọn A.

Ta phân tích:

IMG_359 (tính chất đường trung tuyến)

IMG_360

IMG_361 .

Câu 5: Cho hình hộp IMG_362 có tâm IMG_363 . Gọi IMG_364 là tâm hình bình hành IMG_365. Đặt IMG_366 , IMG_367 , IMG_368 , IMG_369 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IMG_370 . B. IMG_371 .

C. IMG_372 . D. IMG_373 .

Hướng dẫn giải:

IMG_374Chọn D.

Ta phân tích:

IMG_375 .

IMG_376 .

IMG_377 .

IMG_378 .

Câu 6: Cho hình hộp IMG_379 . Gọi IMG_380IMG_381 lần lượt là tâm của hình bình hành IMG_382IMG_383 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. IMG_384 .

B. Bốn điểm IMG_385 , IMG_386 , IMG_387 , IMG_388 đồng phẳng.

C. IMG_389 .

D. Ba vectơ IMG_390 ; IMG_391 ; IMG_392 không đồng phẳng.

IMG_393Hướng dẫn giải:

Chọn D.

A đúng do tính chất đường trung bình trong IMG_394 và tính chất của hình bình hành IMG_395 .

B đúng do IMG_396 nên bốn điểm IMG_397 , IMG_398 , IMG_399 , IMG_400 đồng phẳng.

C đúng do việc ta phân tích:

IMG_401

IMG_402 .

D sai do giá của ba vectơ IMG_403 ; IMG_404 ; IMG_405 đều song song hoặc trùng với mặt phẳng IMG_406 . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Câu 7: Cho tứ diện IMG_407 . Người ta định nghĩa “ IMG_408 là trọng tâm tứ diện IMG_409 khi IMG_410 ”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. IMG_411 là trung điểm của đoạn IMG_412 ( IMG_413 , IMG_414 lần lượt là trung điểm IMG_415IMG_416 ).

B. IMG_417 là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của IMG_418IMG_419 .

C. IMG_420 là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của IMG_421IMG_422 .

D. Chưa thể xác định được.

Hướng dẫn giải:

IMG_423Chọn D.

Ta gọi IMG_424IMG_425 lần lượt là trung điểm IMG_426IMG_427 .

Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

IMG_428 IMG_429 là trung điểm đoạn IMG_430 .

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

Câu 8: Cho tứ diện IMG_431IMG_432 là trọng tâm tam giác IMG_433 . Đặt IMG_434 ; IMG_435 ; IMG_436 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IMG_437 . B. IMG_438 .

C. IMG_439 . D. IMG_440 .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

IMG_441 Gọi IMG_442 là trung điểm IMG_443 .

Ta phân tích:

IMG_444

IMG_445 .