QUAN HỆ SONG SONG

A – LÝ THUYẾT CHUNG

I – ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Mở đầu về hình học không gian

Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

Quan hệ thuộc: Trong không gian:

  1. Với một điểm IMG_256 và một đường thẳng IMG_257 có thể xảy ra hai trường hợp:

IMG_258 Điểm IMG_259 thuộc đường thẳng IMG_260 , kí hiệu IMG_261

IMG_262 Điểm IMG_263 không thuộc đường thẳng, kí hiệu IMG_264

b. Với một điểm IMG_265 và một mặt phẳng IMG_266 có thể xảy ra hai trường hợp:

IMG_267 Điểm IMG_268 thuộc mặt thẳng IMG_269 , kí hiệu IMG_270

IMG_271 Điểm IMG_272 không thuộc đường thẳng, kí hiệu IMG_273

2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

3. Điều kiện xác định mặt phẳng

Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:

Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm IMG_274 không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu IMG_275

Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng IMG_276 và một điểm IMG_277 không thuộc IMG_278 kí hiệu IMG_279

Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng IMG_280 cắt nhau, kí hiệu IMG_281

Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng IMG_282 song song, kí hiệu IMG_283

4. Hình chóp và tứ diện

Định nghĩa: Cho đa giác IMG_284 và cho điểm IMG_285 nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối IMG_286 với các đỉnh IMG_287 ta được IMG_288 miền đa giác IMG_289

Hình gồm IMG_290 tam giác đó và đa giác IMG_291 được gọi là hình chóp IMG_292

Trong đó:

IMG_293 Điểm IMG_294  gọi là đỉnh của hình chóp.

IMG_295 Đa giác IMG_296  gọi là mặt đáy của hình chóp.

IMG_297 Các đoạn thẳng IMG_298  gọi là các cạnh đáy của hình chóp.

IMG_299 Các đoạn thẳng IMG_300  gọi là các cạnh bên của hình chóp.

IMG_301 Các miền tam giác IMG_302  gọi là các mặt bên của hình chóp.

IMG_303

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Chú ý

a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.

b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.

II – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Trong phần vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, ta biết rằng hai đường thẳng phân biệt bất kì hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc cắt nhau. Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng và không cắt nhau thì ta nói hai đường thẳng đó song song với nhau.

Định nghĩa:

Hai đường thẳng phân biệt IMG_304 trong không gian được gọi là song song với nhau, kí hiệu IMG_305 nếu chúng đồng phẳng và không cắt nhau.

2. Tính chất

IMG_306

Định lí 1: Trong không gian cho đường thẳng IMG_307 và điểm IMG_308 nằm ngoài IMG_309 . Lúc đó tồn tại duy nhất một đường thẳng IMG_310IMG_311 và song song với đường thẳng d.

Chú ý:

Định lí này cho ta thêm một cách xác định đường thẳng trong không gian: đó là đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước không chứa điểm đó. Kết hợp với định lí 2 dưới đây cho ta một cách để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Định lí 2 ( Về giao tuyến của ba mặt phẳng):

IMG_312 IMG_313

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Đến đây ta có thể bổ sung một phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

Bước 1: Chỉ ra hai mặt phẳng IMG_314 lần lượt chứa hai đường thẳng song song IMG_315 .

Bước 2: Tìm một điểm chung IMG_316 của hai mặt phẳng

Bước 3: Khi đó IMG_317

Định lí 3:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn IMG_318

3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

a) Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng IMG_319IMG_320 trong không là góc giữa hai đường thẳng IMG_321IMG_322 cùng đi

qua một điểm và lần lượt song song với IMG_323IMG_324 .

b. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Bước 1: Dựng góc

– Tìm trên hình vẽ xem góc giữa hai đường thẳng có sẵn không?

– Nếu không có sẵn thì ta tiến hành:

+ Chọn một điểm O bất kì trong không gian.

+ Qua O dựng đường thẳng IMG_325 . Góc nhọn hay góc vuông tọc bởi IMG_326 chính là góc giữa IMG_327IMG_328 .

Lưu ý:

+ Ta thường lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng IMG_329IMG_330 .

+ Chọn O sao cho góc giữa IMG_331 là góc của một tam giác mà độ dài các cạnh của nó đã biết hoặc có thể tính dễ dàng

Bước 2: Tính góc

Dùng hệ thức lượng trong tam giác, tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin. Trường hợp góc giữa hai đường thẳng IMG_332IMG_333 bằng IMG_334 ta nói IMG_335 .

III – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng IMG_336 và mặt phẳng IMG_337 Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng IMG_338 và mặt phẳng IMG_339 không có điểm chung, tức là:

IMG_340

b. Đường thẳng IMG_341 và mặt phẳng IMG_342 chỉ có một điểm chung, tức là:

IMG_343 cắt IMG_344 tại IMG_345

c. Đường thẳng IMG_346 và mặt phẳng IMG_347 có hai điểm chung, tức là:

IMG_348

IMG_349

IMG_350

IMG_351

IMG_352  cắt IMG_353

IMG_354

IMG_355

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng IMG_356  không nằm trong mặt phẳng IMG_357  và song song với một đường thẳng nào đó trong IMG_358  thì IMG_359  song song với IMG_360

Tức là, IMG_361  thì nếu:

IMG_362

IMG_363

3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng IMG_364  song song với mặt phẳng IMG_365  thì mọi mặt phẳng IMG_366  chứa IMG_367  mà cắt IMG_368  thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với IMG_369

Tức là, nếu IMG_370

IMG_371

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: IMG_372

IMG_373

Hệ quả 3: Nếu IMG_374IMG_375 là hai đường thẳng chéo nhau thì qua IMG_376 có một và chỉ một mặt phẳng song song với IMG_377

IV – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

Cho 2 mặt phẳng IMG_378IMG_379 Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Hai mặt phẳng IMG_380IMG_381 không có đường thẳng chung, tức là:

IMG_382

b. Hai mặt phẳng IMG_383IMG_384 chỉ có một đường thẳng chung, tức là:

IMG_385 cắt IMG_386

c. Hai mặt phẳng IMG_387IMG_388 có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:

IMG_389

IMG_390

IMG_391

IMG_392

IMG_393  cắt IMG_394

IMG_395

IMG_396

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng IMG_397 chứa hai đường thẳng IMG_398 cắt nhau và cùng song song với

mặt phẳng IMG_399  thì IMG_400  song song IMG_401

Tức là: IMG_402

IMG_403

3. Tính chất

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng IMG_404 song song với mặt phẳng IMG_405 thì qua IMG_406 có một và chỉ một mặt phẳng IMG_407 song song với IMG_408

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng IMG_409  và IMG_410  song song thì mặt phẳng IMG_411  đã cắt IMG_412  thì phải cắt IMG_413  và các giao tuyến của chúng song song.

Tức là: IMG_414

IMG_415
Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Tức là: IMG_416

IMG_417

IMG_418

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

  • Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
  • Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
  • Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:

a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.

b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.

c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

IMG_419

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

IMG_420 IMG_421

Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

5. Hình chóp cụt

Định nghĩa: Cho hình chóp IMG_422  Một mặt phẳng IMG_423  song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh IMG_424  theo thứ tự tại IMG_425  Hình tạo bởi thiết diện IMG_426  và đáy IMG_427  của hình chóp cùng với các mặt bên IMG_428  gọi là một hình chóp cụt.

Trong đó:

  • Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
IMG_429
  • Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
  • Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như IMG_430 gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:

1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.