Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I. Hoán vị

1. Giai thừa:

IMG_256 Qui ước: IMG_257

IMG_258

IMG_259 (với IMG_260 )

IMG_261 (với IMG_262 )

2. Hoán vị (không lặp):

Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử là: IMG_263

3. Hoán vị lặp:

Cho k phần tử khác nhau: IMG_264 Một cách sắp xếp IMG_265 phần tử trong đó gồm IMG_266 phần tử IMG_267 phần tử IMG_268 phần tử IMG_269 IMG_270 theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp IMG_271 và kiểu IMG_272 của IMG_273 phần tử.

Số các hoán vị lặp cấp IMG_274 kiểu IMG_275 của IMG_276 phần tử là:

IMG_277

4. Hoán vị vòng quanh:

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: IMG_278

 

II. Chỉnh hợp

 

1. Chỉnh hợp (không lặp):

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

IMG_279

· Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

· Khi k = n thì IMG_280

2. Chỉnh hợp lặp:

Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: IMG_281

III. Tổ hợp

 

1. Tổ hợp (không lặp):

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử: IMG_282

· Qui ước: IMG_283 = 1

Tính chất:

IMG_284

2. Tổ hợp lặp:

Cho tập A = IMG_285 và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: IMG_286

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

· Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: IMG_287

· Chỉnh hợp: có thứ tự.

· Tổ hợp: không có thứ tự.

Þ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp

Ngược lại, là tổ hợp.

· Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):

+ Không thứ tự, không hoàn lại: IMG_288

+ Có thứ tự, không hoàn lại: IMG_289

+ Có thứ tự, có hoàn lại: IMG_290

Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động IMG_291 chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

IMG_292 Đếm số phương án thực hiện hành động IMG_293 (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất IMG_294 hay không) ta được IMG_295 phương án.

IMG_296 Đếm số phương án thực hiện hành động IMG_297 không thỏa tính chất IMG_298 ta được IMG_299 phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: IMG_300 .

 

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM

 

Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

IMG_301 Tất cả n phần tử đều phải có mặt

IMG_302 Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

IMG_303 Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

IMG_304 Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

IMG_305 k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

IMG_306 Cần chọn IMG_307 phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

IMG_308 Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

 

Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

A. 192 B. 202 C. 211 D. 180

Câu 2: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau

A. 34 B. 46 C. 36 D. 26

Câu 3: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau.

A. 48 B. 42 C. 58 D. 28

Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế

A. 48 B. 42 C. 46 D. 50

Câu 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

A và F ngồi cạnh nhau

A. 242 B. 240 C. 244 D. 248

Câu 6: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

A và F không ngồi cạnh nhau

A. 480 B. 460 C. 246 D. 260

Câu 7: Trong tủ sách có tất cả IMG_309 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A. IMG_310 . B. IMG_311 . C. IMG_312. D. IMG_313.

Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp IMG_314 sách Văn khác nhau và IMG_315 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. IMG_316 . B. IMG_317 . C. IMG_318 . D. IMG_319.

Câu 9: Từ các số IMG_320 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.

A. 104 B. 106 C. 108 D. 112

Câu 10: Từ các số IMG_321 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm IMG_322 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

A. 76 B. 42 C. 80 D. 68

DẠNG 2: XẾP VỊ TRÍ – CÁCH CHỌN, PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC..

 

Câu 1: Một liên đoàn bóng rổ có IMG_398 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. IMG_399 . B. IMG_400 . C. IMG_401 . D. IMG_402.

Câu 2: Một liên đoàn bóng rổ có IMG_403 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. IMG_404 . B. IMG_405 . C. IMG_406 . D. IMG_407.

Câu 3: Một liên đoàn bóng đá có IMG_408 đội, mỗi đội phải đá IMG_409 trận với mỗi đội khác, IMG_410 trận ở sân nhà và IMG_411 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. IMG_412 B. IMG_413 . C. IMG_414 . D. IMG_415.

Câu 4: Giả sử ta dùng IMG_416 màu để tô cho IMG_417 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. IMG_418 . B. IMG_419 . C. IMG_420 . D. IMG_421.

Câu 5: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả IMG_422 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. IMG_423 . B. IMG_424. C. IMG_425 . D. IMG_426 .

Câu 6: Tên IMG_427 học sinh được ghi vào IMG_428 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên IMG_429 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh:

A. IMG_430 . B. IMG_431. C. IMG_432 . D. IMG_433.

Câu 7: Một hội đồng gồm IMG_434 giáo viên và IMG_435 học sinh được chọn từ một nhóm IMG_436 giáo viên và IMG_437 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. IMG_438 . B. IMG_439 . C. IMG_440 . D. IMG_441.

Câu 8: Một tổ gồm IMG_442 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn IMG_443 em đi trực trong đó phải có An:

A. IMG_444 . B. IMG_445 . C. IMG_446 . D. IMG_447.

Câu 9: Từ một nhóm IMG_448 người, chọn ra các nhóm ít nhất IMG_449 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. IMG_450 . B. IMG_451. C. IMG_452 . D. IMG_453.

Câu 10: Một tổ gồm IMG_454 nam và IMG_455 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn IMG_456 em đi trực sao cho có ít nhất IMG_457 nữ?

A. IMG_458 . B. IMG_459 .

C. IMG_460 . D. IMG_461.