Gia sư, luyện thi, dạy nghề, tư vấn, viết bài, dịch thuật, thiết kết, lập trình, digital marketing

Tứ giác nội tiếp đường tròn – Học tốt Toán 9

Ghi chú: Tài liệu trích dẫn

Tứ giác nội tiếp đường tròn là một trong những chương trình hình học lớp 9 vô cùng quan trọng và luôn bắt gặp trong những kỳ thi. Để hiểu được rõ hơn về định nghĩa, các định lý, cách chứng minh cũng như các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Hãy cùng https:://toppy.vn/ tìm hiểu qua bài giảng chi tiết ngay sau đây.

I. Lý thuyết tứ giác nội tiếp đường tròn:

  1. Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên cùng 1 đường tròn.

Định nghĩa về tứ giác nội tiếp của đường tròn

  1. Định lí:

Định lý:

Trong 1 tứ giác nằm trong đường tròn, tổng số đo của 2 góc đối diện là bằng nhau.

Ví dụ minh họa:

Cho 1 đường tròn tâm O, bán kính R (O,R) có tứ giác ABCD nội tiếp

⇒ Ta có góc A + góc C= 180º và góc B + góc D= 180º

  1. Định lí đảo:

Nếu 1 tứ giác mà có tổng số của đo 2 góc đối diện là 180º thì tứ giác đó là tứ giác nằm trong đường tròn.

  1. 1 số dấu hiệu để nhận biết:

Để nhận biết và chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cần dựa vào một số dấu hiệu sau:

Tứ giác có tổng của 2 góc đối là 180º

Tứ giác mà có góc ngoài của 1 đỉnh bằng với góc trong của đỉnh đối với nó

Tứ giác mà có 4 đỉnh đều cách đều 1 điểm (có thể xác định được). Điểm đó thông thường sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Tứ giác mà có 2 đỉnh kề với nhau và cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại cùng 1 góc α.

II. Các cách chứng minh:

Dựa vào định nghĩa, các định lý và một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nằm trong đường tròn, dưới đây là tổng hợp các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp của đường tròn

  1. Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác nằm cách đều 1 điểm nào đó.

Xét tứ giác ABCD và 1 điểm I:

Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn tâm I, bán kính R (I,R) khi và chỉ khi: IA = IB = IC = ID.

  1. Chứng minh tổng 2 góc đối của tứ giác là 180º

Xét tứ giác ABCD:

Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn nếu như A +C= 180º và B + D= 180º

  1. Chứng minh 2 đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh dưới với 2 góc đều bằng nhau:

Xét tứ giác ABCD:

Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn khi và chỉ khi ta có góc DAC = góc DBC và cùng chắn cung DC.

  1. Nếu như 1 tứ giác mà tổng số đo của 2 góc đối bằng nhau thì đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác ABCD:

Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn khi và chỉ khi ta có góc A + góc C= góc B + góc D= α. Đây chính là trường hợp đặc biệt của cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thứ 2.

  1. Tứ giác mà có góc ngoài của 1 đỉnh bằng với góc trong của đỉnh đối với nó thì nội tiếp trong đường tròn.

Xét tứ giác ABCD:

Tứ giác ABCD được xem là tứ giác nội tiếp của đường tròn khi góc ngoài của đỉnh A bằng với góc C, hoặc cũng có thể là góc ngoài của đỉnh B bằng với góc D.

  1. Chứng minh với phương pháp phản chứng:

Đối với cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn này thì sẽ chứng minh tứ giác là những hình đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành hoặc hình thoi.

III. Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp:

Tứ giác nội tiếp đường tròn được xem là một trong những kiến thức vô cùng quan trọng, không thể thiếu trong những bài kiểm tra. Chính vì vậy để củng cố lại kiến thức lý thuyết cũng như các cách chứng minh, dưới đây là các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thông dụng hiện nay.

Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập 1 (Bài 53/SGK trang 89 Toán 9, Tập 2)

Cho tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R (O;R). Tính lần lượt các góc A, B, C, D còn thiếu (nếu có thể) trong những trường hợp cụ thể dưới đây:

Trường hợp 1: Góc A = 80º và Góc B =70º

Trường hợp 2: Góc C = 105º và Góc D =75º

Trường hợp 3: Góc A = 60º

Trường hợp 4: Góc B = 40º

Trường hợp 5: Góc B = 65º và Góc C = 74º

Trường hợp 6: Góc A = 95º và Góc D = 98º

Bài tập 2 (Bài 54/SGK trang 89 Toán 9, Tập 2)

Chứng minh rằng đường trung trực AB, AC, BD đều cùng đi qua 1 điểm. Biết rằng tứ giác ABCD có tổng của góc ABC + góc ADC = 180º

Bài tập 2 (Bài 55/SGK trang 89 Toán 9, Tập 2)

Cho tứ giác nội tiếp của đường tròn tâm M, ABCD biết rằng góc DAB là 80º, góc DAM là 30º, góc BMC là 70º. Hãy tính số đo của những góc sau: MAB, MCD, BCM, BCD, AMB, MAD và DMC.

Bài giảng trên đã cung cấp lý thuyết, các cách chứng minh và các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp thường gặp hiện nay. Hy vọng đây là những kiến thức bổ ích, cần thiết cho các bạn học sinh, đặc biệt là quý phụ huynh. Nếu có nhu cầu ôn tập những kiến thức liên quan hay bất kỳ môn học khác hay thường xuyên cập nhật và theo dõi thông tin tại https:://toppy.vn/.

Cung chứa góc

Đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Học hình lớp 9 cùng T