Hệ thức vi ét và ứng dụng – phương pháp học hiệu quả

Ghi chú: Tài liệu trích dẫn

Trong chương trình Toán học lớp 9, hệ thức vi ét và ứng dụng là kiến thức quan trọng để áp dụng trong hầu hết các dạng bài tập. Để ôn tập các kiến thức về hệ thức vi ét lớp 9 này và ứng dụng của nó. Hãy cùng Vietlearn.org theo dõi bài giảng chi tiết ngay sau đây.

I. Lý thuyết về hệ thức vi ét và ứng dụng

1. Hệ thức vi ét:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, dù nghiệm đó là nghiệm kép hay hai nghiệm phân biệt đều có thể viết được dưới dạng sau:

[latexpage] x₁ = ${(-b + \sqrt{\Delta}) \over 2a}$ và x₂ = ${(-b – \sqrt{\Delta}) \over 2a}$

Khi đó nếu x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), ta có hệ phương trình sau:

[latexpage] x₁ + x₂ = -b/a và x₁ . x₂ = c/a

Với lý thuyết trên có thể thấy hệ thức vi ét là kiến thức nền tảng rất quan trọng để có thể giải được tất cả các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán học lớp 9 và các lớp khác.

2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng

a. Tính nhẩm nghiệm:

Ứng dụng định lý vi ét tính nhẩm nghiệm như sau:

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a + b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = 1 và một nghiệm còn lại là x₂ = c/a

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a – b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = -1 và một nghiệm còn lại là x₂ = -c/a

b. Tìm 2 số khi biết tích và tổng:

Ứng dụng định lý vi ét cho bài toán tìm 2 số khi biết tích và tổng như sau:

Nếu 2 số có tổng là S và tích là P thì 2 số đó sẽ là 2 nghiệm của phương trình một ẩn sau: x² – Sx + P = 0

Điều kiện để hai số này tồn tại là S² – 4P ≥ 0

Bài giảng trên đây là toàn bộ những kiến thức cơ bản về công thức vi ét, hệ thức vi ét và áp dụng bài tập chi tiết nhất. Để củng cố lại toàn bộ kiến thức về nội dung quan trọng này, dưới đây là sơ đồ tư duy về hệ thức.

II. Các dạng bài tập về hệ thức vi ét và ứng dụng:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc -1

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a. 3x² + 8x – 11 = 0

b. 2x² + 5x + 3 = 0

Cho phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho truớc một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Ví dụ 2:

a) Phương trình có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình biết hiệu hai nghiệm bằng 11 . Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó