Toán 9. Hệ thức Vi- ét. Biểu thức không đối xứng(Hay và đặc biệt).

Hệ thức vi ét và ứng dụng – phương pháp học hiệu quả

Ghi chú: Tài liệu trích dẫn

Hệ thức vi ét và ứng dụng

Trong chương trình Toán học lớp 9, hệ thức vi ét và ứng dụng là kiến thức quan trọng để áp dụng trong hầu hết các dạng bài tập. Để ôn tập các kiến thức về hệ thức vi ét lớp 9 này và ứng dụng của nó. Hãy cùng Vietlearn.org theo dõi bài giảng chi tiết ngay sau đây.



I. Lý thuyết về hệ thức vi ét và ứng dụng


1. Hệ thức vi ét:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, dù nghiệm đó là nghiệm kép hay hai nghiệm phân biệt đều có thể viết được dưới dạng sau:

x₁ = {(-b + \sqrt{\Delta}) \over 2a} và x₂ = {(-b - \sqrt{\Delta}) \over 2a}


Khi đó nếu x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), ta có hệ phương trình sau:

x₁ + x₂ = -b/a và x₁ . x₂ = c/a

Với lý thuyết trên có thể thấy hệ thức vi ét là kiến thức nền tảng rất quan trọng để có thể giải được tất cả các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán học lớp 9 và các lớp khác.


2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng


a. Tính nhẩm nghiệm:

Ứng dụng định lý vi ét tính nhẩm nghiệm như sau:

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a + b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = 1 và một nghiệm còn lại là x₂ = c/a

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a – b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = -1 và một nghiệm còn lại là x₂ = -c/a


b. Tìm 2 số khi biết tích và tổng:

Ứng dụng định lý vi ét cho bài toán tìm 2 số khi biết tích và tổng như sau:

Nếu 2 số có tổng là S và tích là P thì 2 số đó sẽ là 2 nghiệm của phương trình một ẩn sau: x² – Sx + P = 0

Điều kiện để hai số này tồn tại là S² – 4P ≥ 0

Bài giảng trên đây là toàn bộ những kiến thức cơ bản về công thức vi ét, hệ thức vi ét và áp dụng bài tập chi tiết nhất. Để củng cố lại toàn bộ kiến thức về nội dung quan trọng này, dưới đây là sơ đồ tư duy về hệ thức.


II. Các dạng bài tập về hệ thức vi ét và ứng dụng:


Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai


Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc -1

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a. 3x2 + 8x – 11 = 0

b. 2x2 + 5x + 3 = 0


Cho phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho truớc một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Ví dụ 2:

a) Phương trình IMG_256 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình IMG_257 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình IMG_258 biết hiệu hai nghiệm bằng 11 . Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình IMG_259 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó


Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình.

a) 5 IMG_260

b) IMG_261


Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) IMG_262 biết một nghiệm bằng -3

b) IMG_263 biết một nghiệm bằng 3


Dạng 2: Lập phương trình bậc hai


Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Ví dụ : Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2


Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

Ví dụ : Cho phương trình IMG_264 có hai nghiệm IMG_265


Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

a) 8 và -3

b) 36 và -104


Bài 2: Cho phương trình IMG_266 có hai nghiệm IMG_267 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm IMG_268


Bài 3: Cho phương trình IMG_269 có hai nghiệm IMG_270 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm IMG_271


Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương IMG_272


Bài 5: Cho phương trình IMG_273 có hai nghiệm IMG_274 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm IMG_275


Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Ví dụ 1: Tìm hai số a và b biết S=a+b=-3, P=a b=-4


Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S=a+b=3, P=a b=6


Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm hai số biết tổng S =9 và tích P=20


Bài 2: Tìm x, y biết

a) x + y = 11 ; x y = 28

b) x – y = 5 ; x y = 66


Dạng 4: Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.

Ví dụ: Cho phương trình IMG_276 có hai nghiệm IMG_277 hãy tính IMG_278


Bài giảng trên đã cung cấp cho các bạn về hệ thức vi ét và ứng dụng, đặc biệt là công thức vi ét cũng như các dạng toán thường gặp. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức bổ ích dành cho các bạn học sinh, đặc biệt là quý phụ huynh có nhu cầu ôn tập và giảng dạy cho các em. Trong quá trình học tập và ôn luyện, nếu có nhu cầu tìm kiếm đơn vị học tập uy tín, chất lượng hoặc muốn được giải đáp về những kiến thức liên quan đến môn học, hãy liên hệ với Vietlearn.org để được giải đáp nhanh nhất có thể.


III. Xem thêm video hay về hệ thức Vi ét và Ứng dụng

Toán 9. Hệ thức Vi- ét. Biểu thức không đối xứng(Hay và đặc biệt).
vi et
vi ét
hệ thức vi et
định lí vi ét
hệ thức vi ét
định lí vi et
công thức vi ét
hệ thức vi ét và ứng dụng
hệ thức vi-ét và ứng dụng
các dạng toán vi ét thi vào lớp 10
định lý vi ét
các dạng toán vi-ét thi vào lớp 10
hệ thức vi ét mở rộng
vi-et
vi ét bậc 3
định lý vi et lớp 9
hệ thức vi-ét mở rộng
định lý vi-et lớp 9
định lí vi ét đảo
định lý vi et
vi-ét
vi ét bậc 2
vi ét đảo
định lí vi ét cho phương trình bậc 2
định lí vi ét là gì
công thức vi ét lớp 9
công thức tính vi ét
dinh ly vi et trong toan hoc
vi et lớp 9
dinh ly vi et
định lý vi-et
định luật vi ét
định lí vi ét cho phương trình bậc 3
bài tập hệ thức vi ét có đáp án
vi-ét bậc 3
he thuc vi et
hệ thức vi-ét
vi et phương trình bậc 3
vi et nam net
định lí vi-ét cho phương trình bậc 2
bài 6 hệ thức vi-ét và ứng dụng
định lí vi-ét cho phương trình bậc 3
định lí vi-ét
định lý vi ét toán 9
dđịnh lý vi ét
định lí vi-et
dinh li vi et
hệ thức vi-ét bậc 3
công thức vi et
định lý vi ét toán
toán 9 hệ thức vi ét và ứng dụng
ứng dụng định lý vi et trong giải toán
bài tập hệ thức vi-ét có đáp án
vi-et lớp 9
dđịnh lí vi ét
các công thức vi ét
công thức vi-ét
bài tập nâng cao về hệ thức vi-ét
vi ét x1-x2
ct vi ét
cách tính vi ét
vi ét lớp 9
vi ét là gì
định lý vi-ét
công thức vi-ét lớp 9
ứng dụng định lý vi-et trong giải toán
dinh ly vi-et lop 9
giải vi ét
các dạng toán vi-ét thi lớp 10
các dạng toán vi-ét thi vào lớp 10 violet
vi ét hàm bậc 3
hệ thức vi-et
vi ét bậc 4
các dạng bài vi ét thi vào lớp 10
vi ét công thức
hằng đẳng thức vi ét
định lí vi ét và ứng dụng
công thức định lí vi ét
x1^2+x2^2 vi et
ứng dụng vi ét
toán vi ét
theo vi ét
giải toán 9 hệ thức vi ét
dđịnh lí vi et
định lí vi ét lớp 10
dđịnh lý vi et
tính vi ét
vi et bậc 3
phương trình vi ét
đl vi ét
vi et armis
cong thuc vi et
cách giải vi-ét
cách giải hệ thức vi et
các dạng vi ét thường gặp
toán 9 hệ thức vi ét và ứng dụng sbt
hệ thức vi ét x1 – x2
vi ét toán 9
các công thức vi ét lớp 9
các dạng biến đổi vi ét
dinh luat vi et
các công thức biến đổi vi ét
hệ thức vi ét và ứng dụng luyện tập
vi ét 9
theo vi et
các công thức tính vi ét
định lí vi ét trong vật lý
hệ thức vi ét bậc 3
sex vi et nam
hệ thức vi ét và ứng dụng sbt
công thức vi-et
định lí vi-et đảo
nhà toán học vi ét
các hệ thức vi ét thường gặp
cách giải vi ét
định lí vi-ét và ứng dụng
giải bài tập hệ thức vi-ét và ứng dụng
các dạng vi ét
toán vi ét lớp 9
vi- ét
toán 9 bài 6 hệ thức vi-ét và ứng dụng
hệ quả vi ét
bài tập vi ét
vi-et đảo
các dạng bài vi ét
hệ quả định lí vi-ét
hệ thức vi-ét và ứng dụng sbt
biến đổi vi ét
toán 9 bài hệ thức vi-ét
đinh lí vi ét
các dạng toán vi-ét thi vào lớp 10 nâng cao
công thức vi ét mở rộng
vi-ét bậc 2
các bài toán về vi ét
các bài toán vi ét thi vào lớp 10
dl vi et
ct vi et
hệ thức vi ét đảo
giải sbt toán 9 hệ thức vi ét
các dạng hệ thức vi ét
hệ thưức vi ét
định lý vi-et áp dụng trong lĩnh vực nào
ứng dụng định lí vi-ét
chuyên đề hệ thức vi ét và ứng dụng
toán 9 định lí vi ét
vi et cho phương trình bậc 3
chuyên đề hệ thức vi-ét và ứng dụng
công thức vi ét bậc 3
các bài tập về vi ét
hệ thức vi-ét và ứng dụng nâng cao
vi ét không đối xứng
vi et đảo
công thức tính hệ thức vi ét
giải sbt toán 9 bài hệ thức vi ét
bài tập về định lí vi ét
dịnh lí vi ét
định lí vi ét bậc 2
dl vi-et
các dạng bài vi ét lớp 9
vi-et phương trình bậc 3
soạn bài hệ thức vi ét và ứng dụng
các dạng toán vi ét
toán vi-ét lớp 9
hệ thức vi-et và ứng dụng
vi et toán
phát biểu định lí vi ét
vi et của phương trình bậc 3
các dạng bài toán vi ét
he thuc vi et va ung dung toan 9
định lí vi ét toán 9
các bài toán về hệ thức vi-ét
các công thức vi et
bai tap he thuc vi et lop 9
công thức tính vi ét lớp 9
bài tập về vi ét
cách tính hệ thức vi ét
vi ét mở rộng
các dạng toán vi-et lớp 9
vi-ét 9
các dạng bài tập về hệ thức vi ét
x1^4 – x2^4 vi et
định lí vi ét cho phương trình bậc 4
một số bài tập về hệ thức vi-et
công thức hệ thức vi ét
công thức định lí vi-et
bài tập vi ét lớp 9
vi ét trị tuyệt đối
bài tập hệ thức vi-ét có đáp an
định lí vi ét bậc 3
bài tập vi-ét không đối xứng có đáp án
vi – et
công thức tính vi et
cách làm vi ét
các bài tập về hệ thức vi ét
các dạng vi et
tính vi et
x1^3+x2^3 vi et
định lý vi ét đảo
định lý vi et được áp dụng trong lĩnh vực nào
cách làm bài vi ét
ứng dụng của vi ét
heệ thức vi ét
vi et x1^2-x2^2
công thức hệ thức vi-ét và ứng dụng
toán 9 vi ét
các bài tập về hệ thức vi-et
định lý vi et cho phương trình bậc 3
bài toán vi ét
vi ét giá trị tuyệt đối
vi ét đối xứng
toán 9 bài 6 hệ thức vi-ét
phát biểu hệ thức vi ét
dịnh lí vi et
toán 9 tập 2 bài hệ thức vi ét
beaufort london vi et armis
các cách biến đổi vi ét
science et vi
vi et armis beaufort london
cách giải bài toán hệ thức vi ét
các bài toán về hệ thức vi-ét lớp 9
hệ thưức vi et
các bài toán vi ét
giải toán vi ét
định lí vi ét lớp 9
giai bai tap he thuc vi et va ung dung
các dạng vi ét lớp 9
giải bài tập toán 9 hệ thức vi ét
định lí vi ét cho hàm bậc 3
định lí vi et thuận
hệ thức vi ét giá trị tuyệt đối
các dạng câu vi ét
bài 6 hệ thức vi ét và ứng dụng
chứng minh định lý vi et
định lí vi ét công thức
ứng dụng vi et
cong thuc dinh ly vi et
dinh ly vi et bac 3
dịnh lý vi et
vi ét x1 – x2
công thức vi ét x1-x2
chuyên đề vi et toán 9
định lí vi-et bậc 3
cac cach giai bai toan vi-et
vi ét cho pt bậc 3
vi-et bậc 3
chuyên đề hệ thức vi et
ứng dụng của định lí vi-ét
các dạng bài tập vi et
vi ét mũ 3
bài tập về hệ thức vi-et
điều kiện vi ét
các dạng bài tập về hệ thức vi et
hệ thức vi ét nâng cao
dinh li vi-et
chuyên đề vi ét
hệ thức vi-ét và ứng dụng sách bài tập
ai là triệu phú hỏi: định lý vi-ét được áp dụng trong lĩnh vực nào?
giải bài toán vi ét
bài tập hệ thức vi ét và ứng dụng
định lí vi et cho phương trình bậc 3
vi et phương trình bậc 2
định lý vi et là gì
vi ét x1+2×2=1
vi ét có trị tuyệt đối
pt vi ét
các dạng toán vi-ét lớp 10
vi ét tổng tích
bài tập hệ thức vi ét lớp 9
định lý vi et đảo
bài giảng hệ thức vi ét và ứng dụng
vi -et
bài tập vi-ét không đối xứng
cách giải toán vi ét
cách giải vi ét có giá trị tuyệt đối
các dạng toán vi-ét lớp 9
bài tập định lí vi ét
ảnh vi ét
vi ét s p
các bài toán vi-ét thi vào lớp 10
các dạng toán vi-ét
áp dụng hệ thức vi ét
hệ thức vi-ét và ứng dụng bài 25
hệ thức vi-ét và ứng dụng lý thuyết
hệ thức vi et và ứng dụng
vi ét pt bậc 3
giải vi et
các dạng toán hệ thức vi ét
cách áp dụng hệ thức vi ét
vi-ét không đối xứng
các bài toán liên quan đến hệ thức vi-et
cách làm bài toán vi ét
chuyên đề hệ thức vi et và ứng dụng violet
đinh lí vi et
vi ét không đối xứng có đáp án
vi ét x1^2-x2^2
biểu thức vi ét
vi et nâng cao
các bài tập nâng cao về hệ thức vi-ét
sex vi et
hệ thức vi-ét đảo
he thuc vi et va ung dung
công thức vi ét đảo
bài tập áp dụng hệ thức vi ét
dli vi et
chuyen de he thuc vi et
định ly vi et
hệ thức vi ét sbt
giải vi-et
hệ vi ét
vi-ét không đối xứng có đáp án
bài tập hệ thức vi-ét và ứng dụng
định luật vi-ét
cách biến đổi vi ét
hệ thức vi ét là gì
vi-et cho pt bac 3
nhà toán học vi-et
giải phương trình vi ét
định lí vi-ét đảo
hệ thức vi-ét và ứng dụng toán 9
bài tập vi et
áp dụng vi ét
các hằng đẳng thức vi ét
bài tập hệ thức vi ét
các bài toán vi-ét khó
luyện tập hệ thức vi-ét và ứng dụng
vi ét nâng cao
toán lớp 9 bài hệ thức vi-ét
beaufort vi et armis
giai toan vi et
các dạng bài tập vi ét
vi ét và ứng dụng
dùng hệ thức vi ét để tính nhẩm nghiệm
các dạng vi ét nâng cao
tất cả công thức vi ét
vi-et bac 2
vi ét phương trình bậc 3
cac cong thuc vi et
vi-et định lý
dinh ly vi-et
toan 9 he thuc vi et
hệ thức vi et phương trình bậc 3
giải sgk toán 9 bài hệ thức vi ét
các dạng bài vi et
các dạng đề vi ét
bài hệ thức vi ét
bài tập vi ét nâng cao
các dạng toán vi ét lớp 9
toán vi et
công thức tính vi-ét
hằng đẳng thức trong vi ét
các dạng toán về vi ét
dạng toán vi ét
định lí vi ét nâng cao
cách giải vi et không đối xứng
vi et nam
định lý vi-ét toán
vi ét có căn
vi ét của hàm bậc 3
hệ thức vi ét công thức
ứng dụng định lí vi ét
hệ thức vi ét cho phương trình bậc 3
bài toán vi et lớp 9
bai tap vi et
các dạng bài toán về hệ thức vi ét
hệ thúc vi ét
dđịnh lý vi-et
cách giải vi-ét không đối xứng
hệ thức vi-ét và ứng dụng lớp 9
toán 9 bài hệ thức vi ét và ứng dụng
vi ét.
định lí vi ét thuận
giá trị tuyệt đối vi ét
dinh ly vi et ai la trieu phu
điều kiện để áp dụng hệ thức vi ét
các dạng bài về hệ thức vi ét
một số bài toán về vi ét
ứng dụng của hệ thức vi-et
hệ thứ vi ét
vi ét tìm giá trị nhỏ nhất
hva mener vi med kjemiske egenskaper for et metall
đinh lý vi ét
bài vi ét
bài tập vi ét có đáp án
cac dang bai tap vi et
các bài tập vi ét
giải hệ thức vi ét và ứng dụng
vi ét x1=2×2
giai bai tap toan so lop 9 bai he thuc vi et
hệ thức vi ét bài tập
chuyên đề về hệ thức vi ét
bài tập vi-et lớp 9
toán 9 hệ thức vi ét
vi ét phương trình bậc 2
vi-et bậc 2
các dạng bài vi-ét thi vào lớp 10
các bài vi ét
những bài toán vi ét
dinh ly vi et va ung dung
bài tập về hệ thức vi ét
vi et armis beaufort
soạn toán 9 hệ thức vi ét và ứng dụng
hệ thức vi-ét và ứng
chuyên đề hệ thức vi et và ứng dụng
đinh ly vi et
he thức vi et
các bài toán về hệ thức vi-et
vi ét nâng cao lớp 9
dùng hệ thức vi ét tính nhẩm nghiệm
công thức định lý vi ét
giá trị tuyệt đối trong vi ét
vi-et nâng cao
bài tập về hệ thức vi ét lớp 9
các dạng bài tập về vi ét
vi ét cho phương trình bậc 3
ht vi et
cách làm toán vi ét
vi et 3 số
công thức nghiệm vi ét
định lú vi ét
theo hệ thức vi ét
vi ét có giá trị tuyệt đối
điịnh lý vi et
cách giải bài toán vi-ét
các ứng dụng của hệ thức vi et
đề vi ét
ông vi ét
dinh ly vi et phuong trinh bac 2
vi ét lớp 10
các dạng toán vi ét thi vào 10
så tenner vi et lys i kveld
công thức định lí vi-ét
hệ thức vi ét toán 9
định lí vi ét x1-x2
giải vi ét có giá trị tuyệt đối
bài tập vi ét thi vào 10
dinh ly vi et trong vat ly
giải toán 9 tập 2 hệ thức vi ét
vi-ét mở rộng
chuyên đề vi-ét thi vào lớp 10
dat vi et
dinh ly vi et la gi
vi ét x1^3 – x2^3
bai tap vi-et
các hệ thức vi ét
vi et bac 4
dinh lý vi et
định lí vi ét bài tập
bài tập định lí vi ét lớp 9
phân tích vi ét
các phép biến đổi vi ét
công thức biến đổi vi ét
giải bài hệ thức vi ét và ứng dụng
toan 9 he thuc vi et va ung dung
hệ thức vi ét và ứng dụng bai tap
hệ thức vi ét và ứng dụng lớp 9
công thức toán vi ét
hvordan får vi et godt parforhold
chuyên đề vi et
giải toán bài hệ thức vi ét và ứng dụng
các dạng toán vi et
hệ thức vi ét và ứng dụng violet
dinh ly vi et duoc ap dung trong linh vuc nao
6 hệ thức vi-ét và ứng dụng
hệ thức vi ét lớp 9
x1^2-x2^2 vi et
vi ét 3 số
giải toán 9 tập 2 bài hệ thức vi ét
giải bài 6 hệ thức vi-ét và ứng dụng
vi ét chứa giá trị tuyệt đối
chuyên đề vi et lớp 9
nghiệm vi ét
dịnh lý vi ét
så tenner vi et lys
theo định lí vi ét
giải toán hệ thức vi ét và ứng dụng
hệ thức vi-ét và ứng dụng luyện tập